Question

Втреугольнике авс угол вас= 45, угол вса= 60. длина стороны вс= корень из 3. найти площадь треугольника вос, где о- центр описанной около треугольника авс окружности

Answer 1

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, чтобы узнать радиус описанной окружности

$\frac{BC}{\sin 45^\circ}=2R$

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2R$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2R$

Сократим обе части на 2 и получим длину радиуса описанной окружности

$R=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$R=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Длины сторон треугольника ВОС равны

$BO=R=\sqrt{\frac{3}{2}},\quad OC=R=\sqrt{\frac{3}{2}},\quad BC=\sqrt{3}$

По формуле Герона вычислим площадь треугольника ВОС

Сначала вычислим полупериметр

$p=\frac{\sqrt{3}+2*\sqrt{\frac{3}{2}}}{2}$

$p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right)*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right)}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}*\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}\right)}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{6-3}{4}\right)}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{3}{4}}*\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{3}{4}}*\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$

$S_{\Delta BOC}=\sqrt{\frac{3}{4}}*\frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{\Delta BOC}=\frac{3}{4}$

ответ:$S_{\Delta BOC}=\frac{3}{4}$ - квадратных единиц.