Диагонали пересекаются в точке О. Благодаря свойству трапеции ΔАОВ=ΔСОД, а тр-ки ВОС и АОД подобны. Их коэффициент подобия: k²=S/s=54/6=9 ⇒ k=3. Пусть ВО=х, СО=у, тогда ДО=3х, АО=3у. α - угол между диагоналями, его синус одинаковый для всех треугольников, образованных пересекающимися диагоналями. Сумма тр-ков АОВ и СОД: S1=(х·3у·sinα+3х·у·sinα)/2=(6xy·sinα)/2. Сумма тр-ков ВОС и АОД: S2=(х·у·sinα+3x·3y·sinα)/2=(10xy·sinα)/2. S1/S2=6/10=3/5. По условию S2=6+54=60, значит S1=3·S2/5=36. ΔАОВ=ΔСОД=36/2=18 (ед²).
Треугольники АВC и ADB подобны по двум углам (<BAC=<BCA, как углы при основании равнобедренного треугольника, <ABD и <BAD равны - дано). Из подобия АВ/AD=AC/AB. Или 18/12=АС/18. Отсюда АС=18*18/12=27. Тогда DC=АС-АD или DC=27-12=15.
Второй вариант решения: Треугольники АВC и ADB подобны по двум углам, значит <ABC=<ADB. Пусть <ABC=<ADB=α. Тогда по теореме косинусов из треугольника АВС: АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*Cosα. Или АС²=2*18²(1-Cosα).(1) По теореме косинусов из треугольника АВD: АВ²=AD²+BD²-2*AD*BD*Cosα. Или 18²=12²+12²-2*12*12*Cosα. Отсюда Cosα= -1/8. Подставим это значение в (1): АС²=2*18²(1+1/8)=729. Или АС=√729=27. DC=АС-АD или DC=27-12=15. ответ: DC=15.
Відповідь:
Пояснення: