Question

Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника abc, находится вне этого треугольника, если его угол c наибольшмий. найдите величину угла c если площадь треугольника равна 2\/3 см^2, а ac= 2 см, bc=4 см.

Answer 1

Площадь треугольника находится по формуле

$S_\Delta=0,5*a*b*\sin\angle (a,b)$

В данном случае это будет выглядеть как

$S_{\Delta\,ABC}=0,5*AC*BC*\sin\angle C$

Подставим известные значения

$2\sqrt{3}=0,5*2*4*\sin\angle C$

$2\sqrt{3}=4*\sin\angle C$

$\sin\angle C=\frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\sin\angle C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle C=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in Z$

В данном случае может быть два ответа.

при n=0, $\angle C=\frac{\pi}{3}$, то есть 60 градусов. Но так как угол С - наибольший, то другие углы должны быть меньше 60 градусов. Этого быть не может. Так как на другие углы приходиться 180-60=120 градусов. Здесь применена теорема о том, что сумма углов треугольника в геометрии Евклида равна 180 градусам. В любом случае хотя бы один из двух оставшихся углов будет больше или равен 120:2=60  градусов. В этом случае не выполняется условие наибольшести угла С.

Значит при n=1

$\angle C=-\frac{\pi}{3}+2\pi$

$\angle C=\frac{2\pi}{3}$

$\angle C=120^\circ$

Этот ответ подходит. Так как в этом случае угол С будет наибольшим. На оставшиеся два угла придется 180-120=60 градусов.

$\angle C=120^\circ$