Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см. найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окружностей.
Если соединить центры окружностей, получится равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС = 4 и боковыми сторонами АС = АВ =3. Центры обеих окружностей (не заданных, а которые надо найти) лежат на оси симметрии этого треугольника, то есть на высоте к основанию АМ, где М - середина ВС. Заранее неизвестно, различные это точки или нет. Сразу замечу, что АМ = √5; 1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС. Отсюда OA = R - 1; OB = OC = R - 2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О, такую, что ОА = R - 1; OB = R - 2; и заодно найти R. Ясно, что МО = АМ - ОА = √5 - (R - 1); OB = (R - 2); BM = 2; и MO^2 + MB^2 = OB^2; то есть (√5 + 1 - R)^2 + 2^2 = (R - 2)^2; это даже не квадратное уравнение - члены с R^2 сокращаются. R = (√5 + 1)^2/(2*(√5 - 1)) = (√5 + 1)^3/8 = √5 + 2; интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС. 2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С. Отсюда O1A = r + 1; O1B = O1C = r + 2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О1, такую, что О1А = r + 1; O1B = r + 2; и заодно найти r. Ясно, что МО1 = АМ - О1А = √5 - (r + 1); O1B = (r + 2); BM = 2; и MO1^2 + MB^2 = O1B^2; то есть (√5 - 1 - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки не квадратное уравнение. r = (√5 - 1)^2/(2*(√5 + 1)) = (√5 - 1)^3/8 = √5 - 2; О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают.
Понятие призмы и виды призм Рассмотрим два равных многоугольника и , расположенных в параллельных плоскостях и так, чтобы отрезки , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1). Рис. 1
Каждый из n четырехугольников …, (1) является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой. Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями и называют n – угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы. Рис. 2
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма. [1, 62] Понятие параллелепипеда Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы. На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.
Рис. 3 Рис. 4
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301] Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]
Свойства параллелепипеда Теорема: У параллелепипеда: 1 ) противолежащие грани равны и параллельны; 2 ) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Доказательство: 1 ) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, и (рис. 5).
Рис. 5
Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны. 2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21] Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Доказательство: Это выплывает из теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]
Рис. 6
Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
Дополнительные соотношения между элементами призмы Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7). Доказательство: Рис. 7
Крім Польщі та Литви, на українські землі зазіхали Угорщина, Османська імперія та Московська держава.
Поступове захоплення Закарпаття Угорським королівством розпочалося в 30-х pp. XI ст., коли до його складу було включено північну частину краю. У XII ст. така ж доля спіткала весь край (нетривалий час Закарпаття було під контролем галицько-волинських князів). Від цього часу правителі Угорщини почали титулуватися "князями русинів".
Закарпаття у складі Угорського королівства поділялося на адміністративно- територіальні одиниці – комітати (жупи), які очолювали ішпани (жупани) – намісники, яких призначав король.
Король щедро роздавав землі краю угорським дворянам, католицьким храмам і русинській знаті, яка мадяризувалася (переймала угорську мову, культуру і переходила в католицтво). Угорці-землевласники переселяли в новопридбані маєтки угорських селян, а русинів витісняли в гірські райони з неродючими ґрунтами. Місцеве населення було закріпачено, позбавлено будь-яких прав і свобод.
Незадоволені існуючими порядками, селяни-русини неодноразово піднімали повстання, зокрема у 1315 та 1320 pp. на Закарпатті повстання проти угорської влади. Селяни і міщани краю разом з угорцями брали участь у повстанні 1514 р., очолюваному Дьєрдем Дожем. Проте всі виступи були жорстоко придушені.
Поразка угорсько-чеської армії у битві з турками під Могачем у 1526 р. спричинила розподіл Угорщини між Туреччиною, Трансильванією та Австрією. Східну частину Закарпаття отримала Трансільванія, а західну – Австрія. Упродовж наступних десятиліть закарпатські землі стали ареною постійної боротьби, що завдавало краю великих втрат.
Сразу замечу, что АМ = √5;
1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС.
Отсюда OA = R - 1; OB = OC = R - 2;
То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О, такую, что ОА = R - 1; OB = R - 2; и заодно найти R.
Ясно, что
МО = АМ - ОА = √5 - (R - 1); OB = (R - 2); BM = 2; и MO^2 + MB^2 = OB^2;
то есть (√5 + 1 - R)^2 + 2^2 = (R - 2)^2; это даже не квадратное уравнение - члены с R^2 сокращаются.
R = (√5 + 1)^2/(2*(√5 - 1)) = (√5 + 1)^3/8 = √5 + 2;
интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС.
2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С.
Отсюда O1A = r + 1; O1B = O1C = r + 2;
То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О1, такую, что О1А = r + 1; O1B = r + 2; и заодно найти r.
Ясно, что
МО1 = АМ - О1А = √5 - (r + 1); O1B = (r + 2); BM = 2; и MO1^2 + MB^2 = O1B^2;
то есть (√5 - 1 - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки не квадратное уравнение.
r = (√5 - 1)^2/(2*(√5 + 1)) = (√5 - 1)^3/8 = √5 - 2;
О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают.