1.Диагонали перпендикулярны.
Это утверждение соответствует ромбу и квадрату, но квадрат – это разновидность ромба, поэтому:
ответ: 3) ромб.
2. Один угол прямой и диагонали биссектрисы.
Диагонали - биссектриссы – это свойство ромба.
Но прямой угол у ромба есть только в случае, если этот ромб является квадратом.
ответ: 4) квадрат.
3. Противоположные стороны равны.
Это свойство любого параллелограмма.
ответ: 1) параллелограмм
4. Смежные стороны равны
Так как все противоположные четырехугольники это или параллелограмм или разновидности параллелограмма, то у них у всех противоположные стороны попарно равны.
Если смежные стороны равны, то получим что все стороны равны.
Четырехугольник у которого все стороны равны – это ромб.
ответ: 3) ромб
5. Диагонали делят на равные прямоугольные треугольники
Это свойство ромба. Диагонали ромба пересекаясь, образуют 4 прямых угла, и точкой пересечения делаться пополам. Получим что 4 полученных треугольника равны как прямоугольные треугольники с равными катетами и гипотенузами (все стороны роста равны)
ответ: 3) ромб.
6. Диагонали делят на равнобедренные треугольники
Это свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения деляться пополам. Получим что все полудиагонали равны, тогда 4 образованные треугольники равнобедренные.
ответ: 2) прямоугольник
7.Диагональ делит на равные прямоугольные треугольники
Это свойство прямоугольника. Всё углы прямоугольника прямые, а противоположные стороны равны. Тогда полученные треугольники равны как прямоугольные треугольники с равными катетами.
ответ: 2) прямоугольник.
8. Диагонали перпендикулярны и равны
Диагонали перпендикулярны – это свойство ромба.
Но диагонали равны – это свойство прямоугольника. Квадрат является разновидностью ромба и прямоугольника одновременно, тогда данное свойство – свойство квадрата
ответ: 4) квадрат
9. Все углы равны
В 4-угольнике сумма всех углов равна 360°. Если все они равны, то все они равны 360°÷4=90°. Все углы равны 90° – это свойство прямоугольника.
ответ: 2) прямоугольник.
10. Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Это свойство любого параллелограмма.
ответ: 1) параллелограмм.
1) Из условия следует, что острыми являются углы B и D. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. Используя условие, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90∘, получим: ∠BAC=49∘, а ∠DCA=56∘. Следовательно, ∠BAD=90+49=139∘, а ∠BCD=90+56=146∘ и он наибольший в четырехугольнике.
2)Так как AB=BC и AD=CD, то треугольники ABC и ADC являются равнобедренными, а углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. ∠A=∠BAC+∠CAD. ∠BAC=12(180∘−∠B)=12(180∘−60∘)=60∘, ∠CAD=12(180∘−∠D)=12(180∘−110∘)=35∘. ∠A=∠BAC+∠CAD=60∘+35∘=95∘.
Для треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP) = 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно быть параллельно AD... докажите, полезно!)
По теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5;
MO = AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точно также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
По построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON, коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм, AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;