1)докажу, что данный треугольник является прямоугольным. мы знаем, что если у треугольника стороны равны 3, 4 и 5, то он - прямоугольный. Но это же выполняется, если каждая сторона треугольника больше исходной соответствующей в k раз. Здесь k = 2, так как 3*2 = 6, 4*2 = 8. значит, данный треугольник - прямоугольный и подобен египетскому. Высота, проведённая к гипотенузе, вычисляется по формуле h = ab/c, где a,b - катеты, c - гипотенуза. Найдём гипотенузу. раз k=2, то c = 5k = 5*2 = 10
2)Теперь подставляю в формулу величины:
h = 6 * 8 / 10 = 48/10 = 4.8
1) и 2) ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.
3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.
Находим нормальный вектор плоскости АВС.
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).
Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
-1 -2 2| -1 -2
4 3 2| 4 3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =
= -10i + 10j + 5k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).
Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.
Далее находим объём пирамиды ABCD.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).
Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).
AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),
(ABxAC) = -10 10 5
AD = 1 -1 -8
-10 - 10 - 4 = -60.
V = (1/6)*|-60| = 10.
Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:
H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.
Для треугольника выполняется теорема Пифагора
8^2+6^2=100
h=8*6/10=4,8