начертите прямоугольный равнобедренный треугольник.Выполните поворот этого прямоугольника на 45 градусов по часовой стрелке вокруг одного из острых углов
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х. (3 - x) : x = 3 : 2 6 - 2x = 3x 5x = 6 x = 1,2 AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см
2. Так как MN < NK, то MP < PK. Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,5 4 : x = 5 : (x + 0,5) 5x = 4x + 2 x = 2 МР =2 см, РК = 2,5 см
3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см Пусть DE = x, тогда ЕР = 14 - х x : 3 = (14 - x) : 4 4x = 42 - 3x 7x = 42 x = 6 DE = 6 см, ЕР = 8 см
4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3. x : 2 = (x + 3) : 3 3x = 2x + 6 x = 6 АВ = 6 см, ВС = 9 см
6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE. DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника. CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 см Пусть CD = х, тогда DE = 35 - х x : 8 = (35 - x) : 12 12x = 280 - 8x 20x = 280 x = 14 CD = 14 см, DE = 21 см
7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса. Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81). x : 4 = √(х² + 81) : 5 5x = 4√(х² + 81) 25x² = 16x² + 81 · 16 9x² = 81 · 16 x² = 9 · 16 x = 3 · 4 = 12 АС = 12 см Sabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²
8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника. а : 40 = b : 30 b = 30a / 40 = 3a/4 По теореме Пифагора: 70² = a² + 9a²/16 25a²/16 = 4900 a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16 a = 14 · 4 = 56 CB = 56 см АС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см Sabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²
Проводим прямую. Отмечаем точку А - одну из вершин нашего треугольника на прямой, отмечаем отрезок, равный периметру треугольника - находим т. К, откладываем заданный угол с вершиной в т. А. Из т. А проводим перпендикуляр к первой проведенной прямой. Откладываем на нем отрезок, равный высоте - находим т. Я. От нее откладываем перпендикуляр к последней прямой, находим его пересечение с другой стороной угла. Нашли точку В. От точки К откладываем отрезок, равный АВ; находим точку С. Соединяем В и С. ABC -искомый треугольник.
1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х.
(3 - x) : x = 3 : 2
6 - 2x = 3x
5x = 6
x = 1,2
AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см
2. Так как MN < NK, то MP < PK.
Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,5
4 : x = 5 : (x + 0,5)
5x = 4x + 2
x = 2
МР =2 см, РК = 2,5 см
3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см
Пусть DE = x, тогда ЕР = 14 - х
x : 3 = (14 - x) : 4
4x = 42 - 3x
7x = 42
x = 6
DE = 6 см, ЕР = 8 см
4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3.
x : 2 = (x + 3) : 3
3x = 2x + 6
x = 6
АВ = 6 см, ВС = 9 см
6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE.
DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника.
CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 см
Пусть CD = х, тогда DE = 35 - х
x : 8 = (35 - x) : 12
12x = 280 - 8x
20x = 280
x = 14
CD = 14 см, DE = 21 см
7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса.
Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81).
x : 4 = √(х² + 81) : 5
5x = 4√(х² + 81)
25x² = 16x² + 81 · 16
9x² = 81 · 16
x² = 9 · 16
x = 3 · 4 = 12
АС = 12 см
Sabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²
8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника.
а : 40 = b : 30
b = 30a / 40 = 3a/4
По теореме Пифагора:
70² = a² + 9a²/16
25a²/16 = 4900
a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16
a = 14 · 4 = 56
CB = 56 см
АС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см
Sabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²
9. ΔАВС: ∠В = 60°, ∠С = 40°, ⇒ ∠А = 80°.
О - точка пересечения биссектрис.
∠ОАС + ∠ОСА = (∠А + ∠С)/2 = (80° + 40°)/2 = 60°
Из ΔОАС ∠АОС = 180° - (∠ОАС + ∠ОСА) = 180° - 60° = 120°
10. ΔАВС с прямым углом С, СМ - биссектриса.
АС = АВ/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора
ВС = √(АВ² - АС²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см
Пусть АМ = х, тогда МВ = 4 - х.
x : 2 = (4 - x) : (2√3)
2√3x = 8 - 2x
2x(√3 + 1) = 8
x = 4 / (√3 + 1) = 4(√3 - 1) / (3 - 1) = 2(√3 - 1)
AM = 2(√3 - 1) см
МВ = 4 - (2√3 - 2) = 6 - 2√3 = 2√3(√3 - 1) см
11. ΔАВС: ∠С = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°, тогда
АВ = 2АС = 2√3 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора:
ВС = √(АВ² - АС²) = √(12 - 3) = √9 = 3 см
СМ - биссектриса.
Пусть АМ = х, МВ = 2√3 - х.
x : √3 = (2√3 - x) : 3
3x = 6 - √3x
x(3 + √3) = 6
x = 6 / (3 + √3) = 6(3 - √3) /(9 - 3) = 3 - √3 = √3(√3 - 1)
AM = √3(√3 - 1) см
МВ = 2√3 - 3 + √3 = 3√3 - 3 = 3(√3 - 1) см