Даны вершины пирамиды А(3,-5,5), В(-5,1,0), С(3,0,5), D(1,-1,4).
1) Находим векторы ВА и ВС.
ВА = (3+5=8; -5-1=-6; 5-0=5) = (8; -6; 5).
Модуль равен √(64+36+25) = √125 = 5√5.
ВС = (3+5=8;0-1=-1; 5-0=5) = (8; -1; 5).
Модуль равен √(64+1+25) = √90 = 3√10.
cos B = (8*8+(-1)*(-6)+5*5)/(5√5*3√10) = 95/(75√2) = 19√2/30 ≈ 0,896.
∠B = arc cos 0,896 = 0,46086 радиан = 26,406 градуса.
2) Площадь треугольника ABС равна половине модуля векторного произведения ВА(8; -6; 5) на ВС(8; -1; 5).
Применим треугольную схему.
i j k | i j
8 -6 5 | 8 -6
8 -1 5 | 8 -1 =
= -30i + 40j - 8k - 40j + 5i + 48k = -25i + 0j + 40k = (-25; 0; 40).
Модуль равен √(625 + 0 + 1600) = √2225 = 5√89.
Площадь АВС равна (1/2)*5√89 = 5√89/2 ≈ 23,585 кв.ед.
3) Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (ВАхВС)*BD.
Находим вектор BD: В(-5,1,0), D(1,-1,4) = (1+5=6; -1-1=-2; 4-0=4) = (6; -2; 4).
BAxBC = (-25; 0; 40)
V = (1/6)*(-150+0+160) = 10/6 = 5/3 ≈ 1,67 куб.ед.
Задача
Дано:
периметр равностороннего треугольника 18 см
периметр равнобедренного треугольника 20 см
Сторона равностороннего треугольника является основанием равнобедренного треугольника
Найти: стороны равнобедренного треугольника
Решение
1) 18:3=6 (см) - сторона равностороннего треугольника;
2) пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны х см, тогда
х +х + 6 = 20
2х=20-6
2х=14
х=7 (см) - боковые стороны равнобедренного треугольника;
ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 6 см, 7 см и 7 см.
если провести высоту, то ромб делится на прямоугольный треугольник и на прямоугольную трапецию. обозначим высоту за ВЕ и также является большим катетом прямоугольного треугольника. АЕ является меньшим катетом и он равен 7 см. по условию. т.к. у ромба все стороны равны (параллелограм, все стороны которого равны, называется ромбом), ,то АВ (гипотенуза) равна 7 + 18 = 25 см. Итак, найдем ВЕ (высоту; большой катет) по теореме Пифагора:
7^2 + BE^2 = 25^2
BE^2 = 25^2 - 7^2
BE^2 = 576
BE = 24 см. б. катет
и найдем площадь этого трег - ка:
формула: 0,5ав а - катет; и - другой катет
0,5 * 7 * 24 = 84 см^2 площадь трег - ка
Найдем площадь трапеции:
Прямоугольная трапеция отличается только тем, что у нее высота совпадает с боковой стороной.
S = (a + b)*h/2
а = 18 см. ; в - 25 см. h = 24 см.
(18+25)*24/2 = 516 см^2 площадь трапеции
ответ: 84см в кв.; 516 см. в кв.