Задание. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника,если их разность равна 11 см.
r= \dfrac{a}{2 \sqrt{3} }r=
2
3
a
- радиус вписанной окружности;
R=\dfrac{a}{\sqrt{3} }R=
3
a
- радиус описанной окружности;
Их разность R-r=\dfrac{a}{\sqrt{3} } -\dfrac{a}{2\sqrt{3} } = \dfrac{2a}{2\sqrt{3} } -\dfrac{a}{2\sqrt{3} } =\dfrac{a}{2\sqrt{3} }R−r=
3
a
−
2
3
a
=
2
3
2a
−
2
3
a
=
2
3
a
и равен 11, т.е. \dfrac{a}{2\sqrt{3} } =11
2
3
a
=11 откуда a=22 \sqrt{3}\,\, _{CM}a=22
3
CM
Радиус вписанной окружности равен : r= \dfrac{22 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} } =11\,\,\, _{CM}r=
2
3
22
3
=11
CM
а радиус описанной окружности: R= \dfrac{a}{ \sqrt{3} } = \dfrac{22 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } =22\,\, _{CM}R=
3
a
=
3
22
3
=22
CM
ответ: 11 см и 22 см.
№1
Углы 2 и 5 смежные, их сумма равна 180°. Значит, ∠5=180-133=47°.
Углы 1 и 5 соответственные при прямых a и b и секущей c, ∠1=47° и ∠5=47°, ⇒ a||b (по признаку параллельных прямых: если соответственные углы равны, то прямые параллельны) ч.т.д.
№2
Так как по условию BM=MK, то △BMK - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠KBM=∠BKM.
Так как по условию BK - биссектриса △ABC, то ∠ABK=∠KBC=∠KBM.
Итак, ∠KBM=∠BKM и ∠ABK=∠KBM. Значит, ∠ABK=∠BKM, при этом ∠ABK и ∠BKM - внутренние накрест лежащие углы при прямых AB и KM и секущей BK, ⇒ KM||AB, (по признаку параллельных прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) ч.т.д.
№3
Так как по условию ∠BCE=80° и CK - биссектриса ∠BCE, то ∠KCE=∠BCE:2=80°:2=40°.
∠BAC=40° (по условию) и ∠KCE=40°, при этом ∠BAC и ∠KCE - соответственные углы при прямых AB и СK и секущей AE, ⇒ AB || СK (по признаку параллельных прямых: если соответственные углы равны, то прямые параллельны) ч.т.д. .