В треугольной пирамиде проекция бокового ребра L на основание совпадает с отрезком, равным (2/3) высоты h треугольника в основании пирамиды. h =(3/2)* (L*cos 60°) = (3/2)*(√3*(1/2)) = 3√3/4. Сторона а основания равна: а = h/cos 30° = (3√3/4)/(√3/2) = 3/2. Высота пирамиды H = L*sin 60° = √3*(√3/2) = 3/2. Основание пирамиды вписывается в шар по окружности радиуса Ro. Ro = (1/3)h/(sin 30°) = (1/3)*(3√3/4)/(1/2) = √3/2. Теперь переходим к рассмотрению осевого сечения пирамиды через два боковых ребра, развёрнутых в одну плоскость. Для шара это будет диаметральное сечение. Радиус шара Rш = (abc)/(4S). Здесь a и b - боковые рёбра, с - диаметр описанной около основания пирамиды окружности (с = 2Ro = √3). Сечение S = (1/2)H*(2Ro) = (1/2)*(3/2)*√3 = 3√3/4. Получаем Rш = (√3*√3*√3)/(4*(3√3/4)) = 1. Объём шара V = (4/3)πR³ = (4/3)π куб.ед.
Дано: - пирамида PMNKL (Р- вершина), - её высота Н равна 8, - угол α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) Найти объём пирамиды Находим сторону а основания: а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3. Площадь основания So = a² = 256/3. Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ 227,5556.
2) Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL. Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL. Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ). Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н. Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ. Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3. Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ. Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3. Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания. Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен: <PLK = arc tg (a/(a/2)) = arc tg 2 = 63,43495°. Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) = 26,56505°. Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а. Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°. Находим длину КТ = KL*sin (<KLT) =a*(A/L) = a²/L (L - это боковое ребро). L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3). KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15. Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов: a b c p 2p S 8,26236447 13,063945 8,2623645 14,794337 29,58867424 33,04945789 68,2666667 170,66667 68,266667 6,53197265 1,7303918 6,5319726 73,830051 1092,266667 33,04945789 cos A = 0,7905694 cos B = -0,25 cos С = 0,790569415 Аrad = 0,659058 Brad = 1,8234766 Сrad = 0,659058036 Аgr = 37,761244 Bgr = 104,47751 Сgr = 37,76124391
ответ: на фото наброски решения
Объяснение: