Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC = 1, AB = 2 и углом CAB, равным 60o. По теореме косинусов находим, что BC = $ \sqrt{3}$. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $ \angle$ACB = 90o, $ \angle$ABC = 30o. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то
треугольники подобные т.к. прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному а1 и а2 основания данного и отсеченного треугольников х высота отсеченного треугольника S1=(a1*2√2)/2=a1*√2 площадь данного треугольника S2=a2*x/2 площадь отсеченного треугольника S1/S2=2=(√2)² Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия √2 коэффициент подобия треугольников тогда: a1/а2=√2 a1=а2√2 (a1*√2)/(a2*x/2)=2 (а2√2*√2)/(a2*x/2)=2 (√2*√2)/(x/2)=2 4/x=2 x=2 высота отсеченного треугольника
1
Объяснение:
Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC = 1, AB = 2 и углом CAB, равным 60o. По теореме косинусов находим, что BC = $ \sqrt{3}$. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $ \angle$ACB = 90o, $ \angle$ABC = 30o. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то
$\displaystyle \angle$BOC = 90o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$CAB = 90o + 30o = 120o.
Если R — искомый радиус, то
R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BOC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}}$ = 1.