Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
Поместим куб с ребром 2 (для кратности) вершиной В в начало координат, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.
Координаты : А(2; 0; 0), В(0; 0;0), В1(0; 0; 2).
Середина ДС - точка М. Параллельная плоскость СДД1С1 пересекается по МК параллельно АВ1.
Точки М(1; 2; 0) и К(0; 2; 1).
Находим уравнения плоскостей.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем:
Плоскость АВВ1: у = 0,
Плоскость АМКВ1: 2x + y + 2x - 4 = 0
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
cos α = = 1/3.
√(A12 + B12 + C12)*√(A22 + B22 + C₂²)
Угол равен 1,23096 радиан или 70,5288 градусов.