Обозначим коэффициент пропорциональности деления высоты за к. Точка пересечения высоты биссектрисой - Е, основание высоты - точка Д. Тогда ВЕ = 13к, ЕД = 12к. Используем свойство биссектрисы - она делит сторону треугольника пропорционально боковым сторонам. Обозначим коэффициент пропорциональности деления боковых сторон за х. Отрезок АД = 12х, сторона АВ = 13х. По Пифагору (13х)² = (12х)²+(12к+13к)² 169х² = 144х²+625к² (169-144)х² = 625к² 25х² = 625к² х = 5к Тангенс половины угла А = 12к / 12х = к / х Заменим х = 5к и получим tg (A/2) = k / 5k = 1/5. A/2 = arc tg(1/5) = 0.197396 радиан = 11.30993 градуса. Угол А = 11.30993*2 = 22.61986 градуса. Синус этого угла равен 0.384615. Радиус окружности, около треугольника ABC, равен: R = a / 2sin A = 10 / (2*0.384615) = 13.
сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. у нас известны два угла из трех ( b = 60, c = 90 ). поэтому мы можем найти третий угол:
180 - 60 - 90 = 30 ( это угол a )
в есть следующая теорема:
"в прямоугольном треугольнике катет, лежайщий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы."
в данном треугольнике гипотенузой является ab (так как эта сторона лежит против угла в 90 градусов), катетами являются ac и cb.
из теоремы выше понятно, что ab = 2cb
известно, что ab + bc = 111
теперь выразим ab: ab = 111 - bc
теперь все это запишем в уравнение:
мы знаем, что ab можно выразить двумя способами: ab = 111 - bc и ab = 2cb
поэтому можно их прировнять
ab = ab
или
111 - bc = 2cb
111 = 3cb
cb = 111 / 3
так как ab = 2cb, ab = 2 * 111 / 3 = 74