В прямоугольнике АВСD биссектрисы углов А и D пересекаются в точке К; точки М и Р - точки пересечения этих биссектрис со стороной ВС. Известно, что АК = 10, МР = 4 √ 2. Вычислите площадь заданого прямоугольника?
Гипотенуза равнобедренного тр-ка АКD АD=10√2
высота этого тр-ка в 2 раза меньше 5√2
Из подобия тр-ков АКD и PMK определим высоту маленького тр-ка
5√2*4√2/10√2 = 2√2
Высота прямоугольника АВ=5√2+2√2=7√2
Ширина АD=10√2
Площадь прямоугольника S=AD*AB=10√2*7√2 = 140
В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.
Встречается такая же задача с другими данными:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).
CH = HD = 1/2 CD = 5.
ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:
SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12
Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = AD² = 10² = 100
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240
Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.
Биссектрисы прямых углов АК и ДК со стороной АД образуют прямоугольный треугольник с прямым углом АКД. В этом прямоугольном равнобедренном треугольнике известен катет АК = ДК = 10, тогда АД = АК/cos 45° = 10/(1/√2) = 10√2.
Треугольники АКД и МКР подобны как прямоугольные равнобедренные треугольники. Стороны их соответственно пропорциональны и АД:МР = АК:КМ
или в цифрах6 10√2: 4√2 = 10:КМ, откуда КМ = 4.
Высоты Н₁ и Н₂ треугольников АКД и МКР составляют в сумме сторону АВ прямоугольника. найдём эти высоты.
Н₁ = АВ·cos45° = 10·0.5√2 = 5√2
Н₂ = КМ·cos45° = 4·0.5√2 = 2√2
Итого АВ = Н₁ + Н₂ = 5√2 + 2√2 = 7√2
Площадь прямоугольника АВСД равна
S = AB·АД = 7√2 · 10√2 = 70·2 = 140
ответ: S = 140