ответ: (85,75√3)/3см³
Объяснение: Обозначим вершины основания пирамиды А В С Д, а её высоту НО. Проведём от точки О отрезок ОС. Высота НО образуют с проэкцией ОС прямоугольный треугольник НОС, в котором НО и ОС - катеты, а СН - гипотенуза, угол С=60°, тогда угол СНО=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому ОС=НС/2=7/2=3,5см
По теореме Пифагора найдём высоту НО: НО²=НС²-ОС²=7²-(3,5)²=49-12,25=36,75; НО=√36,75=√12,25×√3=
3,5√3см
НО=3,5√3
В основе правильной четырёхугольника пирамиды лежит квадрат и если половина его диагонали ОС=3,5, тогда диагональ АС=3,5×2=7см. Так как диагональ квадрата делит его на 2 равных прямоугольных треугольника, то ∆АСД и ∆АВС- равнобедренные, потому что стороны квадрата равны, и сторона квадрата равна стороне прямоугольного треугольника. Теперь вычислим одну из сторон по формуле прямоугольного треугольника: АВ=ВС=СД=АД=АС/√2=
=7/√2см. Найдём площадь квадрата по формуле: S=(7/√2)²=
=49÷2=24,5см²
S=24,5см²
Теперь найдём объем пирамиды, зная площадь основания и высоту пирамиды по формуле: V=⅓×Sосн×h, где h- высота пирамиды:
V=⅓×24,5×3,5√3=⅓×85,75√3=
=(85,75√3)/3см³
Краткое решение:
Угол С=60°, тогда угол СНО=90-60=30°
ОС=7/2=3,5см
По теореме Пифагора НО²=НС²-ОС²=
=......3,5√3см
Диагональ АС=3,5×2=7см
∆АСД и ∆АВС равнобедренные, поэтому:
АВ=ВС=СД=АД=7/√2
Sосн=(7/√2)²=49/2=24,5см²
V=⅓×Sосн×НО=⅓×24,5×3,5√3=
=⅓×85,75√3=(85,75√3)/3см³
На рисунке представлены оба варианта расположения искомой окружности.
Точка касания "С" этой окружности с хордой АВ определена.
Проведем радиус r=O1C искомой окружности в точку касания. Этот радиус О1С перпендикулярен хорде АВ. Проведем радиус R=ОР данной нам окружности к хорде АВ . Он также перпендикулярен хорде АВ и, кроме того, делит ее пополам в точке М. Тогда АМ=0,5АВ=12, АС=АВ/3=8. СМ=12-8=4.
Опустим из центра искомой окружности перпендикуляр на диаметр КР, включающий в себя радиус R. О1М1=СМ=4. Из прямоугольного треугольника ОАМ по Пифагору найдем отрезок ОМ.
ОМ=√(АО²-АМ²)=√(15²-12²)=9.
В прямоугольнике М1О1СМ сторона ММ1=r, где r - радиус искомой окружности.
Тогда для первого варианта (окружность расположена в большем секторе):
ОМ1=ММ1-ОМ = r-9. ОО1=R-r. (Так как оба радиуса лежат на одной прямой - радиуса в точку касания Т обеих окружностей). И из прямоугольного треугольника М1О1О по Пифагору имеем:
ОО1²=О1М1²+М1О² или (15-r)²=4²+(r-9)² или
225-30r+r²=16+r²-18r+81. Отсюда r=32/3.
Для второго варианта (окружность расположена в меньшем секторе):
ОМ1=ММ1+ОМ = r+9. И ОО1²=(15-r)²=4²+(r+9)² или 225-30r+r²=16+r²+18r+81. Отсюда r=8/3.