Как построить перпендикуляр или поделить отрезок пополам, я объяснять не буду - это вы должны уметь. А делается построение так.
1.Сначала строится прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. В качестве катета берется высота, а в качестве гипотенузы - основание.
Подробнее эта часть - проводится прямая, и к ней перпендикуляр (в произвольной точке). От точки пересечения откладывается вдоль прямой высота, в полученную точку ставится циркуль и проводится окружность радиуса, равного основанию, до пересечения с перпендикуляром. Прямоугольный треугольник построен.
2.Теперь продлеваем ВТОРОЙ (не равный высоте, а полученный в построении) катет за вершину (не жалеем карандаш :) однако замечу, то если треугольник задуман, как тупоугольный, то этот пункт не понадобится - прямая из пункта 4 пересечется со вторым катетом).
3.Последнее, что надо сделать - это поделить гипотенузу (то есть основание) пополам и провести прямую, перпедикулярную основанию, через его середину. (Вы должны уметь это делать циркулем и линейкой - это стандартная задача. Обычно это делают так - проводят 2 одинаковых окружности с центрами в концах отрезка, и точки пересечения окружностей соединяют - это и будет перпендикуляр к отрезку, проходящий через его середину).
4. Точка пересечения прямых из пунктов 3 и 4 даст нам вершину равнобедренного треугольника, и остается просто соединить её со вторым концом основания (с одним уже есть соединение :)))
в тр.АМС: по т.sin:
AM/sin угла АСМ=МС/sin угла МАС=2R
AM/sin (60-α)=МС/sin α=2R
АМ=2Rsin (60-α)
МС=2Rsin α
АМ+МС=2R(sin (60-α)+sin α)=2R*2sin30°cos(30-α)=2Rcos(30-α)
в тр.АBМ: по т.sin:
BМ/sin угла ВАМ=2R
BМ/sin (60+α)=2R
BМ=2Rsin(60+α)=2Rsin(90-(60+α))=2Rsin(90-(30-α))=2Rcos(30-α)
теперь:
АВ/sin60°=2R
АВ=2Rsin60°=2*√138*(√3/2)=√39
S ABC=(a²√3)/4(формула)⇒(39√3)/4
в тр.АМC: по т.cos:
AC²=AM²+МС²-2АМ*МС*сos угла М
39=AM²+МС²-2АМ*МС*сos120°...т.к.сos120°=-1/2
39=AM²+МС²+АМ*МС
S тр АМС=S АВСМ-S тр АВС=(49√3)/4-(39√3)/4=(5√3)/2
S тр АМС=1/2AM*MC*sin120°
(5√3)/2=1/2AM*MC*√3/2
AM*MC=10⇒AM²+MC²=29
(AM+MC)²=AM²+МС²+2АМ*МС=29+2*10=49
АМ+МС=7⇒
P=7+2√39