Если "сесть" в одну - произвольно выбранную - вершину выпуклого N - угольника, и провести все диагонали из этой вершины, то их будет ровно N-3 - по числу "несоседних" вершин. Одна вершина - это та, на которой я "сижу", и две - соседние - на концах сторон, выходящих из этой вершины, все остальные N-3 вершины можно соединить с "нашей" вершиной, проведя диагональ. Например, в четырехугольнике 4 вершины, и из каждой вершины можно провести 4 - 3 = 1 диагональ.
При этом получается ровно N - 2 треугольника (для четырехугольника 1 диагональ делит его на 2 треугольника, для пятиугольника 2 диагонали делят его на 3 треугольника, и так далее)
Если это не понятно, можно поступить так- пронумеруем вершины по часовой стрелке, обозначив "нашу" вершину (то есть ту, в которой мы "сидим") номером 1. Первая диагональ соединит вершины 1 и 3, вторая 1 и 4, последняя возможная диагональ (N - 3тья, всего диагоналей N - 3) соединит вершины 1 и N - 1. Каждая следующая диагональ добавляет 1 треугольник, и когда мы провели последнюю, получив N - 3 треугольника, остался еще одни треугольник с вершинами с номерами 1, N - 1, N. То есть всего N - 2 треугольника.
Ясно, что сумма углов этих треугольников равна сумме углов N - угольника. То есть 180*(N - 2). Для 4 угольника это 360, для пятиугольника 540, и так далее.
Надо думать, что Вы поняли, почему сумма углов многоугольника равна сумме углов треугольников, на которые его можно разделить. А почему треугольников получается на 2 меньше, чем сторон многоугольника? Смотрите рисунок.
Точка М М = (А+С)/2 = ((-5; -7; 3) + (3; 5; -5))/2 = (-2; -2; -2)/2 = (-1; -1; -1) Вектор ВМ ВМ = М - В = (-1; -1; -1) - (4; 2; -2) = (-5; -3; 1) Вектор АС АС = С - А = (3; 5; -5) - (-5; -7; 3) = (8; 12; -8) Скалярное произведение АС и ВМ АС·ВМ = 8*(-5) + 12*(-3) - 8*1 = - 40 - 36 - 8 = - 84 Модули векторов |АС| = √(8² + 12² + 8²) = √272 = 4√17 |BM| = √(5² + 3² + 1²) = √35 Косинус угла между векторами cos(β) = АС·ВМ/(|АС|*|BM|) = -84/(4√17*√35) = -3√(7/85)
Внутренний угол ∠АМВ треугольника АВМ тупой, и равен arccos(-3√(7/85)) ≈ 149.4° В качестве угла между прямыми принято указывать острый угол 180 - arccos(-3√(7/85)) ≈ 30.6°
Если "сесть" в одну - произвольно выбранную - вершину выпуклого N - угольника, и провести все диагонали из этой вершины, то их будет ровно N-3 - по числу "несоседних" вершин. Одна вершина - это та, на которой я "сижу", и две - соседние - на концах сторон, выходящих из этой вершины, все остальные N-3 вершины можно соединить с "нашей" вершиной, проведя диагональ. Например, в четырехугольнике 4 вершины, и из каждой вершины можно провести 4 - 3 = 1 диагональ.
При этом получается ровно N - 2 треугольника (для четырехугольника 1 диагональ делит его на 2 треугольника, для пятиугольника 2 диагонали делят его на 3 треугольника, и так далее)
Если это не понятно, можно поступить так- пронумеруем вершины по часовой стрелке, обозначив "нашу" вершину (то есть ту, в которой мы "сидим") номером 1. Первая диагональ соединит вершины 1 и 3, вторая 1 и 4, последняя возможная диагональ (N - 3тья, всего диагоналей N - 3) соединит вершины 1 и N - 1. Каждая следующая диагональ добавляет 1 треугольник, и когда мы провели последнюю, получив N - 3 треугольника, остался еще одни треугольник с вершинами с номерами 1, N - 1, N. То есть всего N - 2 треугольника.
Ясно, что сумма углов этих треугольников равна сумме углов N - угольника. То есть 180*(N - 2). Для 4 угольника это 360, для пятиугольника 540, и так далее.