Вариант 1 1. На рисунке 161 отрезки AB и
CD имеют общую середину. Докажите,что треугольники AOC и BOD равны.
2. Даны прямая и отрезок. По-
стройте точку, такую, чтобы перпендикуляр, опущенный из этой точки
прямую, равнялся данному отрезку.
3. В треугольнике ABC AB= BC. На
медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC точки Р и К соответственно. (Точки P, M и к не лежат на одной прямой.) Известно, что угл BMP = углуВМК. Докажите, что:
а) углы BPM и BKM равны;
б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.
4*. Дан угол в 54°. Можно ли с циркуля и линейки построить угол в 18°?
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К.
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают.
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.