Трапеция АВСД: А =В = 90гр пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α. Выразим а и в через Н: а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α) S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α) S = 0.5H² · sin α/ cos α S = 0.5H² · tg α H² = 2S/tg α H² = 2S ·ctg α H = √(2S·ctg α)
Обозначим трапецию (слева снизу по часовой стрелке) ABCD. Пусть прямой угол будет D. Значит высота будет CD. Тогда малая диагональ BD и она равна по условию AD, т.е. треугольник ADB - равнобедренный, BD=AD, <ABD=<BAD = a Тогда <ADB = 180 -2*a, а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
S=(AD+BC)* CD/2 Выразим AD и BC через высоту BC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90) BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD, значит AD=CD/cos(2*a-90)
(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S (CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S sin (2*a-90)+1 CD^2 * = S 2*cos(2*a-90)
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H² = 2S/tg α
H² = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)