В окружность можно вписать четырехугольник тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.
Следовательно, вписанной может быть только равнобедренная трапеция - сумма ее противоположных углов равна 180°.
Проведем радиус ОВ. По условию АD=2 CB. ⇒
DO=CB=AO.
В четырехугольнике ВОDC стороны DO и ВС параллельны и равны. ⇒ Четырехугольник BODC - параллелограмм, и DC=BO=DO=R,
АО=ОВ=R. AB=CD=R
Следовательно, ∆ АОВ - равносторонний, все его углы равны 60°.
В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.
∠D=∠A=60°, ∠С=∠В=180°-60°=120°
----
Обозначим треугольник АВС, С=90°, точку на гипотенузе К. Так как точка равноудалена от катетов, расстояние от неё до них равно длине равных отрезков, проведенных к катетам перпендикуляров: КМ до ВС, КН до АС.
Все углы четырехугольника МКНС, вписанного в прямоугольный треугольник АВС – прямые, две стороны равны по условию, две другие им параллельны и противолежат, поэтому он – квадрат.
Его диагональ СМ для прямого угла С является биссектрисой.
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую этому угла сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ⇒
ВС:АС=ВК:АК.
Обозначим АС=х, ВС=у. ⇒
у:х=30:40 ⇒ у:х=3:4 ⇒
у=3х/4
АВ=30+40=7•10
По т.Пифагора
АВ²=АС²+ВС²=х²+у² Заменим у на его значение, выраженное через х:
7²•10²=х²+ 9х²/16
7²•10²=25x²/16
25x²=49•100•16
x²=49•4•16 ⇒x=7•2•4=56 см – длина АС
ВС=3•56/4=42 см