В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также и медианой, поэтому AK=KB (см. рисунок). В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу, равна её половине, поэтому CK=AK=KB. Следовательно, треугольники ACK и CBK тоже равнобедренные. Это значит, что MK и NK являются и высотами, и медианами. Следовательно, это средние линии треугольника ABC (ведь они проходят через середины двух сторон и параллельны третей).
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому:
MK=AC/2=10/2=5;
NK=BC/2=10/5=5.
ответ: 5 см и 5 см.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, ∠AMO=∠ANO=90. В четырехугольнике AMON сумма противоположных углов равна 180, следовательно сумма другой пары противоположных углов так же равна 180, ∠MAN+∠MON=180 <=> ∠MAN=180-100=80. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, AO - биссектриса ∠MAN, ∠MAO=80/2=40.
ИЛИ
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, AM=AN. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, ∠AMO=∠ANO=90. OM=ON, радиусы. △AMO=△ANO по двум катетам, ∠MOA=∠NOA=∠MON/2=50. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90, ∠MAO=90-∠MOA=40.