треугольнике ABC со сторонами AB=2 см, BC=3 см и AC=3 см проведена биссектриса BM. Найдите длины отрезков AM и MC.
№2 В треугольнике MNKизвестны длины сторон MN=4 см,NK=5 см, NP — биссектриса, а разность длин отрезковMP и PKравна 0,5 см. Найдите MPи PK.
№3 треугольнике DEP проведена биссектрисаEK. Найдите стороныDE и EP,если DK=3 см, KP=4 см, а периметр треугольника DEP равен 21 см.
№4 В треугольнике ABC: BC-AB=3 см, биссектриса BD делит сторону AC на отрезки AD=2 см и DC=3 см. Найдите длины сторон AB и BC
№6 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершиныM,F и N лежат соответственно на сторонах CD,CE и DE. Найдите стороны CB и DE, если CF=8 см;EF=12 см. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Точка O на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит
(На самом деле эта фигура -- круг радиуса 1 с центром в точке (1,0),
и её площадь равна pi).
Решим уравнение 1+sqrt(2x-x^2) = 1-sqrt(2x-x^2). Его корни: x = 0, x = 2.
Поэтому данная фигура заключена между кривыми 1+sqrt(2x-x^2) и 1-sqrt(2x-x^2) на отрезке x в [0, 2].
Тогда её площадь:
int_{x=0}^2 ((1+sqrt(2x-x^2)) - (1-sqrt(2x-x^2))) dx = 2* int_{x=0}^2 sqrt(2x-x^2) dx
Теперь осталось найти интеграл. Можно, собственно, дальше мучительно долго искать неопределённый интеграл:
2 * integral sqrt(2 x-x^2) dx =2 * (sqrt(-(x-2) x) (sqrt(x-2) (x-1) sqrt(x)-2 log(sqrt(x-2)+sqrt(x/(2 sqrt(x-2) sqrt(x))+constant
И затем найти разность при x=2 и x=0.
А можно заметить, что фигура -- это круг, и вычислить определённый интеграл сразу, поставив в ответ pi,
ответ: pi