" В прямоугольном параллелепипеде АBCDA1B1C1D1, через точку М диагонали А1С,такую что А1М:МС (1:4) проведена прямая МК,параллельная АА1,где точка К принадлежит плоскасти грани АВСД. Найдите площадь треугольника МКС, если АА1=40, АВ=15 корень из 2. АВСД -квадрат".
Объяснение:
Т.к по определению прямоугольного параллелепипеда АА₁ ⊥(АВС), то МК ⊥(АВС), по условию МК||АА₁ .
Найдем из ΔАВС-прямоугольнОГО , равнобедреннОГО , АС по т. Пифагора : АС=√((15√2)²+(15√2)²)=√(2*15²*2)=30.
ΔА₁АС ≈ΔМКС по двум углам : ∠А₁АС=∠МКС =90°, ∠АА₁С=∠КМС как соответственные при МК||АА₁, А₁С-секущая.
По условию А₁М:МС=1:4 , значит к= 5/4 . По т. об отношении площадей подобных треугольников
или 
. Значит S(МКС)=384 ед².
Рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной нижнего основания и боковой стороной. В нем острый угол равен 30°, значит, гипотенуза - боковая сторона равна4 см, половина основания 4*cos30°=2√3/cм/, основание 4√3, получаем, что высота в треугольнике, образованном диагональю и сторонами параллелограмма, является и медианой. Тогда этот треугольник равнобедренный с основанием, равным 4√3, значит, угол прилежащий к нижнему основанию, тоже равен 30°, а третий угол между диагональю и боковой стороной равен 180°-30°-30°=120°
Диагональ равна боковой стороне . т.е. 4см.
ответ 30°; 30°; 120°. 4см