Вектор АМ = (4-(-4); 2-4) = (8; -2).
Уравнение высоты АМ:
х + 4)/8 = (у - 4)/(-2), или в общем виде х + 4у - 12 = 0.
Сторона треугольника АС перпендикулярна этой высоте.
Коэффициенты в уравнении ВС меняются так: -В и А, то есть -4 и 1.
Уравнение АВС: -4х + у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки В:
-4*(-4) + (-12) + С = 0, отсюда С = 16 + 12 = 28.
Уравнение ВС: -4х + у + 28 = 0 или 4х - у - 28 = 0.
Так как сторона АС перпендикулярна высоте ВМ, у которой координаты точек по оси Ох совпадают, то АС - горизонтальная линия.
А так как она проходит через точку с ординатой у = 4, то это и есть уравнение стороны АС: у = 4.
Подставим у = 4 в уравнение ВС и найдём координату точки пересечения прямых, это точка С.
4х - 4 - 28 = 0, отсюда х = 32/4 = 8.
ответ: координаты точки С(8; 4).
ответ: √(46/41)
Объяснение:
1. Поиск искомого отрезка
1) BM ⊂ (BSD)
AC ∩ (BSD) = O
Проведём в ΔBMD из точки O перпендикуляр к BM
OH ⊥ BM
2) SO - высота пирамиды. Высота попадёт в точку O, так как пирамида правильная. SO ⊥ (BCD)
Проведём HN, HN || SO ⇒ HN ⊥ (BCD) ⇒ NO - проекция OH на (BCD)
3) HO - наклонная, NO - проекция, AC ⊂ (BCD) ⇒ HO ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах)
Таким образом, HO - общий перпендикуляр к прямым AC и BM ⇒ расстояние между AC и BM равно HO
2. Нахождение длины отрезка
HO ⊂ (BSD). Найдём HO из ΔBSD.
1) MD = SD/2 = 5/2
Из ΔABD по теореме Пифагора BD = 2√2, OD = BD/2 = √2 (св-во диаг. квадрата).
Тогда из ΔSOD cos∠SDO = OD/SD = √2/5
2) По теореме косинусов в ΔBMD имеем:
BM² = BD² + MD² - 2BD * MD * cos∠SDO
BM² = 8 + 25/4 - 10√2 * √2/5
BM² = 8 + 25/4 - 4
BM² = 41/4
BM = √41/2
3) sin∠SDO = √(1 - cos²∠SDO) = √(1 - 2/25) = √23/5
SΔBMD = 1/2 * MD * BD * sin∠SDO = 1/2 * 5/2 * 2√2 * √23/5 = √46/2
SΔBMD = 1/2 * BM * KD ⇒ KD = 2*SΔBMD : BM = 2*√46/2 : √41/2 = 2√46/√41
4) В ΔBKD OH || KD, BO = OD ⇒ HO - средняя линия ΔBKD ⇒ HO = KD/2 = √46/√41