• Очень необычное задание • Сумма катетов прямоугольного треугольника равен 12 см. Какими должны быть катеты, чтобы площадь квадрата, построенного на его гипотенузе, была наименьшей?
Решение.
Пусть один из катетов прямоугольного треугольника имеет длину x м, тогда второй катет (12-х) м, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника равна квадрату гипотенузы, то есть S = x2 + (12-x) 2 = ...
Продолжите решения задачи и укажите длину менее катета треугольника в сантиметрах, если катеты имеют равную длину - укажите полученное число.
<CAD=<BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и CD и секущей АС. Значит и <ВАС=30° (АС - биссектриса) и треугольник АВС равнобедренный. Тогда его высота ВН - это и медиана. Значит ВН - это часть радиуса ВО, так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Угол АВС этого треугольника равен 120°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АDC. Значит градусная мера дуги АDC в два раза больше и равна 240°. Тогда градусная мера дуги АВС равна АВС=360°-240°=120°.
На эту дугу опирается центральный угол АОС, соответственно равный 120°. Итак, мы имеем четырехугольник АВСО, являющийся ромбом, и
точка О лежит на стороне АD нашей трапеции. Следоательно
АВ=ВС=АО=ОD=ОС=СD=R=4см. Проведем высоту трапеции СК.
В равностороннем треугольнике ОСD высота СК равна (√3/2)*а, где а=4см. СК=2√3см.
Площадь трапеции S=(BC+AD)*CК/2=12√3см².
ответ: S=12√3см².