Окружность, вписанная в правильный многоугольник, и окружность, описанная около него, имеют общий центр, причем, так как стороны многоугольника - касательные для вписанной окружности, её радиус является высотой равнобедренного треугольника соединяющего центр с вершинами описанного многоугольника. (см. рисунок).
На рисунке О - центр окружностей, ОА=ОВ=R=8, ОН=r=4√3. Треугольник ОНВ прямоугольный. Sin∠OAH=ОН:ОА=4√3:8=√3/2 - это синус 60°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике углы при АВ=60°, ⇒ ∠АОВ=60°, а ∆ АОВ - равносторонний. Сторона данного многоугольника АВ=8. Угол АОВ - центральный, делит окружность на 360°:60°=6 равных углов, противолежащих каждой стороне многоугольника. ⇒ Данный многоугольник имеет 6 сторон.
не забуть поблагадорить)
Треугольник MNK, MN=NK=корень из 3, угол N=120 гр., NP-высота
Решение:
Т.к. в равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой, значит MP=PK, угол MNP=углу PNK=60гр.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP.
Т.к. угол P=90 гр, угол N=60 гр, значит угол М=30 гр.
Следовательно, NP=1/2 MN=(корень из 3)/2 (катет против угла 30 гр. равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора:
MP= корень из (MN^2-NP^2)=1,5 см
Значит МК=2*1,5=3 см
Периметр треугольника MNK=3+корень из "3"+корень из "3"=3+2 корня из "3"