1). Отрезок, длиной 10 см, пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.
Как вариант более менее геометрического доказательства того, что входные данные неправильные: Пусть O1 - центр вписанной в треугольник окружности, r - её радиус O2 - центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, R2 - её радиус O3 - центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB, R3 - eё радиус p - полупериметр ABC S = p * r = 8√3 R2 = S / (p - AC) = 8√3 Рассмотрим ΔAO1O2: пусть O1O2 ∩ AC = K AC - общая касательная к окружностям с центрами O1 и O2 => точки O1, O2 и K лежат на одной прямой и O1O2 ⊥ AC AO2 - биссектриса, тк центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов, образованных продолжениями сторон, которых она касается AO1 - биссектриса, тк центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис AO1 и AO2 - биссектрисы смежных углов => AO1 ⊥ AO2 Таким образом, AK - высота ΔABC опущенная из прямого угла => AK = √(√3*8√3) = 2√6 из ΔAO1K: по теореме Пифагора AO1 = 3√3 (o1k - радиус вписанной окружности) sin∠O1AK = 1 / 3 cos∠O1AK = 2√2 / 3 sin(2∠O1AK) = sin∠BAC = 2sin∠O1AK * cos∠O1AK = 4√2 / 9 Найдем AB из формулы площади: AB = 2S / (AC * sin∠BAC) = 18√6 / 7 Заметим, что зная сторону AC, нам удалось найти расстояние O1A, значит, зная сторону AB, мы сможем найти искомое O1B Аналогично: R3 = 224√3 / (28 - 9√6) O1O3 ∩ AB = L BL = √(672 / (28 - 9√6)) по т Пифагора BO1 = √( (756 - 27√6) / (28 - 9√6) ) = 3√( (84 - 3√6) / (28 - 9√6) ) Полученный результат ~ 27, а периметр = 16 длина биссектрисы никак не может превышать длину периметра, а здесь это только лишь её часть => периметр треугольника с радиусом вписанной окружности √3 не может быть = 16 или наоборот, при фиксированном радиусе, такого периметра быть не может
Цитата: "Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр". Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле: r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p, где a,b,c - стороны, а р - полупериметр треугольника. В нашем случае р=(20+21+29):2=35см. Тогда r=√[(15*14*6)/35]=6см. В прямоугольных треугольниках с катетами, равными r(радиус вписанной окружности) и h (высота пирамиды) острый угол равен 45°, значит катеты равны и h=r=6см. ответ: высота пирамиды равна 6см.
Пусть O1 - центр вписанной в треугольник окружности,
r - её радиус
O2 - центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC,
R2 - её радиус
O3 - центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB,
R3 - eё радиус
p - полупериметр ABC
S = p * r = 8√3
R2 = S / (p - AC) = 8√3
Рассмотрим ΔAO1O2:
пусть O1O2 ∩ AC = K
AC - общая касательная к окружностям с центрами O1 и O2 => точки O1, O2 и K лежат на одной прямой и O1O2 ⊥ AC
AO2 - биссектриса, тк центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов, образованных продолжениями сторон, которых она касается
AO1 - биссектриса, тк центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис
AO1 и AO2 - биссектрисы смежных углов => AO1 ⊥ AO2
Таким образом, AK - высота ΔABC опущенная из прямого угла =>
AK = √(√3*8√3) = 2√6
из ΔAO1K:
по теореме Пифагора
AO1 = 3√3 (o1k - радиус вписанной окружности)
sin∠O1AK = 1 / 3
cos∠O1AK = 2√2 / 3
sin(2∠O1AK) = sin∠BAC = 2sin∠O1AK * cos∠O1AK = 4√2 / 9
Найдем AB из формулы площади:
AB = 2S / (AC * sin∠BAC) = 18√6 / 7
Заметим, что зная сторону AC, нам удалось найти расстояние O1A, значит, зная сторону AB, мы сможем найти искомое O1B
Аналогично:
R3 = 224√3 / (28 - 9√6)
O1O3 ∩ AB = L
BL = √(672 / (28 - 9√6))
по т Пифагора
BO1 = √( (756 - 27√6) / (28 - 9√6) ) = 3√( (84 - 3√6) / (28 - 9√6) )
Полученный результат ~ 27, а периметр = 16
длина биссектрисы никак не может превышать длину периметра, а здесь это только лишь её часть => периметр треугольника с радиусом вписанной окружности √3 не может быть = 16 или наоборот, при фиксированном радиусе, такого периметра быть не может