3. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды равны 26 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания б) Найдите высоту пирамиды.
1)Пусть АВСД - данный параллелограмм,угол А-тупой, ВН -высота. АН=3 см, НД=7см. Площадь параллелограмм равна произведению высоты на основание, то есть S=ВН*АД, откуда ВН=S/АД, ВН=30/10=3 см. В треугольнике АВН угол АНИ равен 90 градусов, АН=ВН=3, следовательно данный треугольник прямоугольный и равнобедренный и угол НАВ=углу АВН=90/3= 30 градусов. В параллелограмме АВСД угол А=углуС=30 градусов, а угол В=углу Д= (360-3*30)=270/3=90 градусов
2)По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол площадь АСВ/площади АВД=(АВ*АС)/АВ*АД. (записать в виде дроби), SАВС/SАВД=АС/АД, откуда SАВД=SАВС*АД/АС=36*6/1= 6 квадратных см. (так как по условию задачи АД/ДС как 1/5, то АС/.АД=6/1).
Продлим медианы так, чтобы: BD = DO, B1D1 = D1O1. В ΔADO и ΔDBC: AD = DC (из условия) BD = DO (по построению) ∠ADO = ∠BDC (как вертикальные). Таким образом, ΔADO = ΔBDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC. Аналогично ΔA1D1O1 = ΔD1B1O1 и А1О1 = В1С1, ∠A1O1D1 = ∠D1В1С1. Т.к. ВС = В1С1, то АО = А1О1. В ΔАОВ и ΔА1О1В1: АВ = А1В1 (из условия), АО = А1О1 (по построению), ВО = В1О1 (по построению),
Таким образом, ΔАВО = ΔА1В1О1 по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда
∠A1B1C1 = ∠A1B1D1 + ∠D1B1C1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны. Следовательно ∠АВС = ∠А1В1С1. В ΔABC и ΔA1В1С1: ∠АВС = ∠А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1 (из условия). Таким образом, ΔАВС = ΔА1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Площадь параллелограмм равна произведению высоты на основание, то есть S=ВН*АД, откуда ВН=S/АД, ВН=30/10=3 см.
В треугольнике АВН угол АНИ равен 90 градусов, АН=ВН=3, следовательно данный треугольник прямоугольный и равнобедренный и угол НАВ=углу АВН=90/3= 30 градусов.
В параллелограмме АВСД угол А=углуС=30 градусов, а угол В=углу Д= (360-3*30)=270/3=90 градусов
2)По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол площадь АСВ/площади АВД=(АВ*АС)/АВ*АД. (записать в виде дроби), SАВС/SАВД=АС/АД, откуда SАВД=SАВС*АД/АС=36*6/1= 6 квадратных см. (так как по условию задачи АД/ДС как 1/5, то АС/.АД=6/1).