Чтобы определить линейный угол двугранного угла, надо к линии пересечения плоскостей (граней угла) провести перпендикуляры в обеих плоскостях. Угол между проведёнными перпендикулярами и будет искомым углом. Удобно, когда перпендикуляры проводятся из одной точки, лежащей на линии пересечения. Определим линейный угол двугранного угла DABС. Линия пересечения плоскостей - АВ. Точка D лежит в пл. АВD , а точка С - в пл. АВС. Проведём СH⊥AB в пл АВС ⇒ СH явл. перпендикуляром в пл. AВС к АВ. СH явл. также биссектрисой и медианой, т.к. ΔАВС равносторонний, все его стороны = 6 , ВН=6:2=3, BD=3√7 , СН=√(АС²-АН²)=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=√(9·3)=3√3 .
Соединим точку D и Н. DH - наклонная, DС - перпендикуляр к пл. АВС ⇒ СН - проекция наклонной DH на пл. АВС. Т.к. проекция СН ⊥АВ ⇒ по теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная DH⊥AB. DH явл. перпендикуляром к АВ в пл. ABD. Найдём DН из ΔABD. ⇒ DH=√(DB²-BH²)=√(9·7-3²)=√54=√(9·6)=3√6 .
Получили, что DH⊥AB и CH⊥AB ⇒ линейный ∠DHC - есть линейный угол двугранного угла DABC. (Из сказанного следует ещё,что AB⊥пл.DCH) ∠DHC найдём из ΔDCH. ∠DCH=90°, cos∠DHC=CH/DH=(3√3)/(6√3)=√(3/6)=√(1/2)=1/√2=√2/2 ⇒ ∠DHC=45°.
Двугранному углу DACB соответcтвует линейный угол DCB, т.к. DC⊥пл.АВС, то DC⊥ любой прямой, лежащей в пл.АВС ⇒ DC⊥BC. ∠DCB=90°.
Двугранному углу BDCA соответствует линейный ∠АСВ, т.к. DС⊥AC и DC⊥BC. ∠АСВ=60° как угол равностороннего треугольника .
Вот сказка, которую я разместила у себя на сайте : Математическая сказка "Как виды параллелограмма короля выбирали" . Собрались как-то раз все четырехугольники, в том числе и виды параллелограммов, на лесной полянке и стали выбирать себе короля. Спорили они долго, но прийти к единогласию так и не смогли.
Тогда самый старый параллелограмм сказал: "А давайте мы все отправимся в страну четырехугольников. И кто первым из нас придет туда, тот и станет нашим королем."Все согласились, и они отправились в далекие странствия.На пути им встретилась река. И она сказала, что ее смогут переплыть только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. И тогда некоторые из четырехугольников-путешественников остались на берегу. Остальные же переправились и пошли дальше.Вскоре на пути к цели им встретилась гора. Она сказала, что уступит дорогу только тем, у кого равны диагонали. И некоторым из видов параллелограммов пришлось остаться у подножия горы. Зато остальные смогли продолжить путь.Вскоре они добрались до обрыва; но там был узенький мост. И он тоже поставил условие: пропустит только те четырехугольники, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. В итоге по мосту только один вид параллелограмма. Именно он первым добрался до желанной страны и был провозглашен королем.
лежащей на линии пересечения.
Определим линейный угол двугранного угла DABС. Линия пересечения плоскостей - АВ. Точка D лежит в пл. АВD , а точка С - в пл. АВС. Проведём СH⊥AB в пл АВС ⇒ СH явл. перпендикуляром в пл. AВС к АВ. СH явл. также биссектрисой и медианой, т.к. ΔАВС равносторонний, все его стороны = 6 , ВН=6:2=3, BD=3√7 ,
СН=√(АС²-АН²)=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=√(9·3)=3√3 .
Соединим точку D и Н. DH - наклонная, DС - перпендикуляр к пл. АВС ⇒
СН - проекция наклонной DH на пл. АВС. Т.к. проекция СН ⊥АВ ⇒ по теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная DH⊥AB.
DH явл. перпендикуляром к АВ в пл. ABD.
Найдём DН из ΔABD. ⇒
DH=√(DB²-BH²)=√(9·7-3²)=√54=√(9·6)=3√6 .
Получили, что DH⊥AB и CH⊥AB ⇒ линейный ∠DHC - есть линейный угол двугранного угла DABC.
(Из сказанного следует ещё,что AB⊥пл.DCH)
∠DHC найдём из ΔDCH. ∠DCH=90°,
cos∠DHC=CH/DH=(3√3)/(6√3)=√(3/6)=√(1/2)=1/√2=√2/2 ⇒ ∠DHC=45°.
Двугранному углу DACB соответcтвует линейный угол DCB, т.к.
DC⊥пл.АВС, то DC⊥ любой прямой, лежащей в пл.АВС ⇒ DC⊥BC.
∠DCB=90°.
Двугранному углу BDCA соответствует линейный ∠АСВ, т.к. DС⊥AC
и DC⊥BC.
∠АСВ=60° как угол равностороннего треугольника .