Question

Основанием пирамиды является пряммоугольник со сторонами 18см и 10см. основанием высоты пирамиды, равной 12см, является точка пересечения диагоналей прямоугольника. найти площадь юоковой поверхности, площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Пирамида  MABCD, основание - прямоугольник ABCD: AD=BC=18 см; AB=CD=10 см;  O- точка пересечения диагоналей AС и  BD, MO - высота пирамиды.

Так как у прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то OA = OB = OC = OD  - это проекции боковых ребер на основание. Проекции наклонных равны, следовательно, наклонные тоже равны :  AM = BM = CM = DM - боковые ребра пирамиды.  Тогда ΔAMD = ΔBMC - по трём равным сторонам,  ΔAMB = ΔDMC - по трём равным сторонам.

Проведем  KT║AD  ⇒  OK=OT=AD/2 = 18/2 = 9 см

ΔMOT - прямоугольный, теорема Пифагора

MT² = MO² + OT² = 12² + 9² = 144+81=225 = 15²

MT = 15 см

$S_{DMC} = S_{AMB}$

$S_{DMC} + S_{AMB}=2\cdot \dfrac{DC\cdot MT}{2}=DC\cdot MT = 10 \cdot 15 = 150$ см²

Проведем  FG║DC  ⇒  OG=OF=DC/2 = 10/2 = 5 см

ΔMOF - прямоугольный, теорема Пифагора

MF² = MO² + OF² = 12² + 5² = 144+25 = 169 = 13²

MF = 13 см

$S_{DMA} = S_{CMB}$

$S_{DMA} + S_{CMB}=2\cdot \dfrac{AD\cdot MF}{2}=AD\cdot MF = 18 \cdot 13 = 234$ см²

Площадь боковой поверхности пирамиды

$S_{DMC} + S_{AMB}+S_{DMA} + S_{CMB}=234+150=384$ см²

Sбок = 384 см²

Площадь основания

$S_{ABCD} =AD\cdot DC=18\cdot 10 = 180$  см²

Площадь полной поверхности пирамиды

S = 384 + 180 = 564 см²