40 см² и 90 см².
Объяснение:
Теорема: отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
1) Коэффициент подобия многоугольников равен отношению их периметров:
k = 3 : 2 = 1,5.
2) Квадрат коэффициента подобия:
k² = 1,5² = 2,25.
3) Пусть площадь меньшего многоугольника равна х, тогда площадь большего многоугольника равна 2,25 х. Составим уравнение и найдём х:
х + 2,25 х = 130
3,25 х = 130
х = 130 : 3,25
х = 40 см² - площадь меньшего многоугольника;
2,25х = 2,25 · 40 = 90 см² - площадь большего многоугольника.
ответ: 40 см² и 90 см².
Вариант 1: АС = √13 см.
Вариант 2: АС = 5 см.
Объяснение:
В треугольнике АВС АВ=3√2, ВС=1, АС=√2*R (дано). Найти АС.
По теореме синусов: АС/sinB = 2R. => R√2/SinB = 2R.
SinB = √2/2. Значит угол равен 45 градусов и cosB=√2/2. По теореме косинусов:
АС²= АВ²+ВС² - 2АВ*ВС*cosB. Подставляем значения и получаем
АС² =18+1 - 2*3√2*1*√2/2 =13.
АС = √13 см.
Второй вариант:
Угол при вершине В тупой и тогда косинус этого угла отрицательный и равен -√2/2. Тогда
АС²= АВ²+ВС² + 2АВ*ВС*cosB = 18+1 + 6 =25.
АC = √25 = 5 см.
Проверка по теореме о неравенстве треугольника:
Вариант 1: АВ≈4,24; ВС=1; АС≈3,6. 4,24 < 3,6+1. Треугольник существует.
Вариант 2: АВ≈4,24; ВС=1; АС=5. 5 < 4,24+1. Треугольник существует.
Доказываем равенство треугольников ВСО(О- точка пересечения ВК и СD) и КDO по стороне и принадлежащим ей углам между ними:
АD = DK (по условию), углы KDO=BCO=90, углы OKD=OBC (как внутренние накрест лежащие)
Следовательно, площадь треугольника ABK равна площади прямоугольника.
2АВ+2ВС=42 и ВС=АВ+3
Подставляем ВС в первое уравнение:
2АВ+2АВ+6=42
4АВ=36
АВ=9
ВС=9+3=12
Площадь равна АВ*ВС=9*12=108
ответ: 108.