Question

Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение. Задача. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, ∠ABC=120∘. На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены точки P и Q соответственно так, что AP=CQ=AC. Найдите угол PIQ.

Решение. Поскольку отрезки AP и AC равны, точки

P и Q

C и P

A и Q

A и C

симметричны относительно биссектрисы угла

A

B

C

треугольника ABC, откуда

∠AIC=

120∘

∠AIP

∠CIQ

.

Аналогично, рассматривая точки A и Q, получаем равенство

∠AIC=

120∘

∠AIP

∠CIQ

.

В произвольном треугольнике угол AIC как угол между биссектрисами углов A и C треугольника ABC выражается формулой

Выбрать

. Следовательно, в нашей задаче

∠AIC=

120∘

140∘

150∘

.

Сумма углов AIC, PIA и QIC равна 360∘+∠PIQ, откуда искомый угол PIQ равен

градусов.

Это сириус

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся свойства биссектрис и предположение о равенстве отрезков AP и AC, а также CQ и AC.

В условии задачи мы имеем треугольник ABC, в котором угол ABC равен 120∘. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке I. Также, на продолжениях сторон AB и CB отмечены точки P и Q соответственно так, что отрезки AP и CQ равны AC. Нам нужно найти угол PIQ.

Давайте рассмотрим отрезки AP и AC. Точка P и точка C симметричны относительно биссектрисы угла ABC треугольника ABC. Это означает, что точка P находится на линии биссектрисы, проходящей через угол ABC.

Аналогично, точка Q и точка A симметричны относительно биссектрисы угла ACB треугольника ABC. Это означает, что точка Q находится на линии биссектрисы, проходящей через угол ACB.

Из свойств биссектрис треугольника мы можем заключить, что угол AIC равен 120∘. Также, рассматривая точки A и Q, мы также получаем равенство углов AIC и 120∘. Значит, ∠AIC=120∘.

Теперь рассмотрим треугольник AIC. Угол AIC является углом между биссектрисами углов A и C треугольника ABC. Для произвольного треугольника угол AIC может быть выражен формулой AIC = 180∘ - (1/2)(∠A + ∠C). В нашей задаче угол AIC равен 120∘, поэтому мы можем записать уравнение:
120∘ = 180∘ - (1/2)(∠A + ∠C).

Следовательно, ∠A + ∠C = (180 - 120)∘ = 60∘.

У нас также есть равенство отрезков AP и AC, а также CQ и AC. Это означает, что треугольники APB и ACB, а также треугольники CQB и ACB являются равнобедренными треугольниками. В равнобедренных треугольниках биссектриса угла, вершина которого совпадает с вершиной треугольника, является высотой треугольника и делит угол на два равных угла.

Из этого следует, что ∠AIP = 1/2 ∠A и ∠CIQ = 1/2 ∠C.

Теперь мы можем записать уравнения для этих углов. Вспомним, что мы ранее получили, что ∠A + ∠C = 60∘.

Тогда ∠AIP + ∠CIQ = (1/2 ∠A) + (1/2 ∠C) = 1/2 (∠A + ∠C) = 1/2 (60∘) = 30∘.

Итак, мы получили, что ∠AIP + ∠CIQ = 30∘.

Но поскольку ∠AIP и ∠CIQ являются смежными углами и ∠AIP + ∠CIQ = 30∘, то ∠PIQ равен дополнительному углу к 30∘, то есть 180∘ - 30∘ = 150∘.

Итак, угол PIQ равен 150∘.

Таким образом, ответ на задачу - угол PIQ равен 150∘.