BM - медиана треугольника (см. рис) . На сторонах BCи AC выбрано точки P и K так , что BP:PC = MK:KC=2:1 (=2). Найти площадь четырехугольника MBPK , если площадь треугольника ABC равно 54 см² .
Дано: ΔABC
AM =CM = AC/2 ( BM _медиана)
P ∈ [BC] , K∈ [AC]
BP/PC=MK/KC=2
S (ΔABC) = 54 см²
- - - - - - - - - - - - - -
S(MBPK) -?
S(MBPK) = S(ΔBCM) - S(ΔPCK) = S(ΔABC)/2 - S(ΔPCK.
* * * S(ΔBCM) =S(ΔBAM) = (1/2)S(ΔABC) , т.к. AM =CM =AC/2 * * *
BP/PC=MK/ KC ⇒ BP/PC + 1 =MK/ KC +1 (=2+1 =3) ⇔
(BP+PC)/PC = (MK+KC) / KC ⇔ BC / PC = MC / KC = 3 . || k =3 ||
* * * BP/PC =2 ⇔ BP/PC + 1 =3 ⇔ ( BP+PC)/PC =BC/ PC = 3 * * *
Следовательно: ΔBCM ~ ΔPCK ( по второму признаку подобия )
( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)
* * * Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. * * *
следовательно :
S (ΔBCM) /S(ΔPCK) = (BC / PC)² ⇔ S (ΔBCM) /S(ΔPCK) = 9 || k² ||
S(ΔPCK) = S (ΔBCM) / 9 = S (ΔABC) / 18
Окончательно :
S(MBPK) = S(ΔABC)/2 - S(ΔPCK =S(ΔABC)/2 - S (ΔABC) / 18 =
= (4/9)*S(ΔABC) = (4/9)*54 см² =24 см²
ответ : 24 см²
Smbpk = 24 cм².
Объяснение:
Мы знаем что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Тогда площадь треугольника ВМС = 54÷2 = 27 см².
Треугольники ВМС и РКС подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны" (первый признак).
Дано: BP:PC=MK:KC => CP/CB = CK/CM = 1/3. Угол C общий.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. У нас k = 1/3.
Spkc/Sbmc = 1/9. => Spkc = Sbmc/9 = 3 cм².
Тогда Smbpk = Smbc - Spkc = 27 - 3 = 24 cм².
1) 55градусов
2)40градусов