Эту задачу можно решить методом аналитической геометрии.
Расположим заданный параллелепипед в прямоугольной системе координат точкой В в начале, ВА по оси Ох ВС по оси Оу.
Сечение пересекает боковые рёбра АА1 и СС1 посредине в точках М и К.
Координаты точек для плоскости ВКД1:
В(0; 0; 0), К(0; 4; 3) и Д1(4; 4; 6).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 0 y - 0 z - 0
0 - 0 4 - 0 3 - 0
4 - 0 4 - 0 6 - 0 = 0
x - 0 y - 0 z - 0
0 4 3
4 4 6 = 0
(x - 0) (4·6-3·4) - (y - 0) (0·6-3·4) + (z - 0) (0·4-4·4) = 0
12 x - 0 + 12 y - 0 + (-16) z - 0 = 0
12x + 12y - 16z = 0 или, сократив на 4:
3x + 3y - 4z = 0 .
Плоскость BCC1 - это плоскость zOy, её уравнение х = 0.
Угол между плоскостями определяется по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²).
Подставим значения:
cos α = |3·1 + 3·0 + (-4)·0|
√(3² + 3² + (-4)²) √(1² + 0² + 0²).
Получаем cos α = 3/√34 = 3√34/34.
Угол α = arc cos(3√34/34) = 59,036°.
Диагональное сечение пирамиды- равнобедренный треугольник, углы при основании которого 45° по условию, значит, угол при вершине 180°-2*45°=90°, высота, проведенная к основанию в этом треугольнике равна половине основания, а площадь равна половине основания на высоту, значит, квадрат высоты равен 9 см², высота 3 см, она же и высота пирамиды, теперь легко вычислить объем пирамиды по формуле v=(1/3)*s*h, где s- площадь основания, т.е. квадрата, она равна половине произведения диагоналей, т.е. (2*3)²/2; h-высота, равная 3 см, объем равен
(1/3)*36*3/2=18/см²/