Касательные АС и ВД образуют угол, биссектриса которого проходит через центры окружностей О1О2. Половина этого угла α равна углу между радиусами R1и R2 , проведенными в точку касания и прямыми АВ и СД. Проведём отрезок из точки касания меньшей окружности параллельно О1О2 до прямой СД. sinα = (R2-R1)/(R2+R1)= (99-22)/(99+22) = 7/11 ≈ 0,636364. Расстояние от середины АВ до R1 равно 22*(7/11) = 14. Расстояние от середины СД до R2 равно 99*(7/11) = 63.
ответ: расстояние между прямыми АВ и CD равно (22+99)+14-63 = 72.
НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды ______________________________
РЕШЕНИЕ:
1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний
В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН
отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости → SD перпендикулярен АН АН перпендикулярен ВС Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах
Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°
2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°): Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° угол HSD = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h
По теореме Пифагора: SH² = SD² + DH² SH² = h² + h² = 2h² SH = h√2
Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины Следовательно, AD : DH = 2 : 1 → AD = 2 × DH = 2h AH = AD + DH = 2h + h = 3h
Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота
BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h
S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.
В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →
S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
Проведём отрезок из точки касания меньшей окружности параллельно О1О2 до прямой СД.
sinα = (R2-R1)/(R2+R1)= (99-22)/(99+22) = 7/11 ≈ 0,636364.
Расстояние от середины АВ до R1 равно 22*(7/11) = 14.
Расстояние от середины СД до R2 равно 99*(7/11) = 63.
ответ: расстояние между прямыми АВ и CD равно (22+99)+14-63 = 72.