Центр окружности, описанной около прямоугольника, - это точка пересечения его диагоналей, а радиус - половина диагонали.
Тогда диагональ:
d = 2R = 2 · 7,5 = 15 см.
Пусть х - одна часть, тогда стороны 3х и 4х.
Две смежные стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
d² = (3x)² + (4x)²
9x² + 16x² = 225
25x² = 225
x² = 9
x = 3 (x = - 3 не подходит по смыслу задачи)
3 · 3 = 9 см - одна сторона
3 · 4 = 12 см - другая сторона прямоугольника.
P = (9 + 12) · 2 = 21 · 2 = 42 см
2) В прямоугольном треугольнике катет равен среднему пропорциональному гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Другими словами, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета.
АВ²=АН·АС=10·40=400,
АВ=20 - это ответ.
3) Точка, равноудалённая от сторон треугольника является центром вписанной в него окружности. Он, в свою очередь, лежит на пересечении биссектрис треугольника, значит АО - биссектриса угла АВС. ∠АВС=2∠АВО=2·39=78°.
В тр-ке АОС ∠ОАС+∠ОСА=(∠ВАС+∠ВСА)/2=(180-∠АВС)/2=(180-78)/2=51°.
∠АОС=180-(∠ОАС+∠ОСА)=180-51=129° - это ответ.
PS. Так как точка О не является центром описанной вокруг треугольника окружности, нельзя говорить о том, что угол АВС вписанный и, тем более, что угол АОС центральный и что он равен двум вписанным.