ABCDA1B1C1D1 куб. В1М - одна сторона сечения (соедини в и М1), В1С - вторая сторона сечения. Грани AA1D1D и BB1C1C расположены в параллельных плоскостях, следовательно, стороны сечения, которые находятся в этих гранях, будут параллельны, т.е. так же будет проходить через середину канта и вершину. Значит MD - третья сторона сечения. Аналогично, ND - четвертая сторона. MB1ND - искомое сечение. Его стороны соединяют вершины грани с серединой кантов, а у куба все грани квадраты, значит все стороны сечения равны.
А1В1=а, тогда А1М=а/2. Сторона сечения МВ1=√(a^2+(a/2)^2)=√(a^2+a^2/4)=√(5a^2/4)=a√5/2
Периметр Р=a√5/2 * 4=2a√5
Есть пирамида АВСДА1В1С1Д1, где АВСД - нижнее основание, О - центр нижнего основания, т.Л - середина стороны СД. Аналогично назовем Л1 и О1 для верхнего основания А1В1С1Д1. Восстановим вершину усеченной пирамиды и назовем ее т.К.
Рассмотрим прямоугольный треугольник КЛО: т.к. КО - катет, лежащий против угла КЛО=30 градусов, то КЛ=2*КО. ОЛ=АД/2=24/2=12. Примем КО за х. Тогда КО^2+ОЛ^2=КЛ^2; х^2+12^2=(2х)^2; х=КО=4*корень из 3; КЛ=8*корень из 3.
Из подобия треугольников КЛО и КЛ1О1:
ОЛ/О1Л1=КО/КО1, отсюда КО1=О1Л1*КО/ОЛ=(20/2)*(4*корень из 3)/12=10/корень из 3
V усеч. = V(КАВСД) - V(КА1В1С1Д1)=S(АВСД)*КО/3- S(А1В1С1Д1)*КО1/3=
=24*24*4*(корень из 3)/3-20*20*(10/корень из 3)/3=2912/(3*корень из 3)