1. Даны точки А (3, -1) и В (1,4) Найдите координаты вектора АВ и его абсолютную величину
2. Дан параллелограмм АВСD. О - точка пересечения диагоналей. Найдите векторы OD-OC, 2BO+DA, CD+DB+BA.
3. Даны векторы а(2,0), в(1,2), с(-3,m). Найдите значение m, при котором векторы:
А) в и а + 2с перпендикулярны.
Б) векторы а-в и с коллинеарны.
Вектор АВ = (1 - 3, 4 - (-1)) = (-2, 5)
Абсолютная величина вектора АВ вычисляется по формуле: |AB| = √((-2)² + 5²) = √(4 + 25) = √29
2. Вектор OD можно найти вычтя из координат точки D координаты точки O:
Вектор OD = (4 - 3, -1 - 0) = (1, -1)
Вектор OC можно найти вычтя из координат точки C координаты точки O:
Вектор OC = (-3 - 3, 0 - 0) = (-6, 0)
Итак, вектор OD - OC = (1 + 6, -1 - 0) = (7, -1)
2BO можно найти, умножив вектор BO на 2:
Вектор BO = (3 - 1, -1 - 4) = (2, -5)
2BO = 2 * (2, -5) = (4, -10)
DA можно найти, вычтя из координат точки D координаты точки A:
Вектор DA = (4 - 3, -1 - (-1)) = (1, 0)
Итак, 2BO + DA = (4 + 1, -10 + 0) = (5, -10)
CD можно найти, вычтя из координат точки C координаты точки D:
Вектор CD = (-3 - 4, 0 - (-1)) = (-7, 1)
DB можно найти, вычтя из координат точки D координаты точки B:
Вектор DB = (4 - 1, -1 - 4) = (3, -5)
BA можно найти, вычтя из координат точки B координаты точки A:
Вектор BA = (1 - 3, 4 - (-1)) = (-2, 5)
Итак, CD + DB + BA = (-7 + 3 + (-2), 1 + (-5) + 5) = (-6, 1)
3. А) Для того чтобы векторы в и а + 2с были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0:
(в + а + 2с) * а = 0
(1, 2) * (2, 0) = 0
2*1 + 2*0 = 0
2 = 0 - неверное уравнение, следовательно, векторы в и а + 2с не перпендикулярны ни при каком значении m.
Б) Векторы а-в и с будут коллинеарны, если они параллельны и имеют одинаковое направление или противоположное:
(а - в) * с = 0 или (а - в) * с = |а - в| * |с|
(2 - 1, 0 - 2) * (-3, m) = 0
(1, -2) * (-3, m) = 0
1 * (-3) + (-2) * m = 0
-3 - 2m = 0
-2m = 3
m = -3/2 - значение m, при котором векторы а-в и с коллинеарны.