Пусть данная пирамида МАВС, МО - высота, точка О - центр треугольника; угол ОМА=45°
МО⊥плоскости основания, ∆ МОА - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ⇒∠МАО=45°,
∆ АОМ - равнобедренный. АО=МО=12 см.
О - точка пересечения медиан ∆ АВС, и по свойству медианы АО:НО=2:1. Тогда высота основания АН=12:2•3=18 см
АС=АН:sin 60°=18:√3/2=36:√3•2=12√3
V=S•h:3
Формула площади правильного треугольника 
36•3•√3 см²
V=36•3•√3•12:3=432√3 см³
* * *
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Пусть основание вписанной призмы – ∆ АВС, АВ - гипотенуза, АС =m, угол АВС=f.
.Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы, а радиус равен её половине.
⇒ радиус основания цилиндра равен половине АВ.
АВ=m:sin f
R=0,5m:sin f
V=πr²•h
1. Треугольники AOB и DOC равны по первому признаку:
а) AO = OC - по условию;
б) BO = OD - по условию;
в) ∠AOB = ∠DOC - как вертикальные углы.
2. Аналогично, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку (см. п. 1)
3. Из равенства ΔAOB = ΔDOC получаем, в частности, что AB = DC. Аналогично, из равенства ΔAOD = ΔBOC получаем, что AD = BC.
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку:
а) AB = DC - из равенства ΔAOB и ΔDOC;
б) AD = BC - из равенства ΔAOD и ΔBOC;
в) сторона AC - общая.