M и N – середины боковых сторон трапеции ABCD, тогда отрезок MN – средняя линия трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
1) средняя линия трапеции параллельна основаниям;
2) средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
Тогда, по 1 свойству, прямая, проходящая через среднюю линию MN, будет параллельна прямой, проходящей через основание АD.
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Получается:
MN параллельна АD, АD лежит в плоскости α, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN || α.
По второму свойству средней линии трапеции:
MN = (ВС + АD)/2
АD = 2·MN – ВС
АD = 2∙6 – 4
АD = 8
Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженного на высоту призмы.
P = 36+29+25 = 90
Площадь основания (треугольника) находим по формуле Герона:
Полупериметр p = P/2 = 45
p-a = 45-36 = 9
p-b = 45-29 = 16
p-c = 45-25 = 20
S² = p(p-a)(p-b)(p-c) = 45*9*16*20 = 900*9*16
S = √(900*9*16) = 30*3*4 = 90*4 = 360
2S = 360*2 = 720
Т.о., площадь боковой поверхности равна 1620-720 = 900.
Высота призмы равна 900/90 = 10
ответ: высота призмы равна 10.