а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.
Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что
То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают , откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.
Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда
Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда
Поделим соотношения друг на друга:
Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что , откуда следует:
Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД Рассмотрим треугольник АВЕ: Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи) По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту): ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см. Теперь рассмотрим треугольник BДE: ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов По теореме Пифагора найдем ВД: ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см. ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см
ответ:Решение.
а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.
Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что
То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают , откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.
Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда
Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда
Поделим соотношения друг на друга:
Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что , откуда следует:
Окончательно получаем, что
ответ: 5 : 14.
Объяснение: