Задачка настолько мне понравилась, что я решил добавить решение. Кстати, возможно, тут что-то не так : Пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c и пусть три остальных ребра равны x, y, z, Я обозначу (неизвестный) периметр всех граней P. Тогда a + b + c = P x + y + a = P x + z + b = P y + z + c = P Если сложить последние три равенства, то получится 2(x + y + z) + (a + b + c) = 3P или x + y + z = P :); откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны. То есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. Все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники. Ну, теперь, если очень напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра. 6х4 = 24
Ваш первый вопрос: ------------------ Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке? ------------------ и ответ - никак. Медианы треугольников, построенных на сторонах шестиугольника НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ в одной точке. Если рассматривать треугольники, просто вписанные в шестиугольник, с рёбрами, не совпадающими с рёбрами шестиугольника, то всё ещё хуже для пересечения медиан. ------------------------------------------------------ Ваш второй вопрос: Как доказать что медианы двух треугольников, вершины которых совпадают с серединами сторона произвольного шестиугольника пересекаются в одной точке? ------------------ и снова - никак. медианы разных треугольников не пересекаются в одной точке ----------------------------------------------------- Теперь ваш третий вопрос, на случай, если вам снова захочется изменить условие задачи. Есть точки вершин шестиугольника A₁..A₆ Есть точки середин рёбер шестиугольника B₁..B₆ На них построены два треугольника. B₁B₃B₅ и B₂B₄B₆ Точки пересечения медиан треугольников P и Q Доказать, что P = Q Воспользуемся координатым методом. Координаты центра пересечения медиан первого треугольника P = 1/3(B₁+B₃+B₅) Для второго треугольника Q = 1/3(B₂+B₄+B₆) Координаты середин сторон шестиугольника B₁ = 1/2(A₁+A₂) B₂ = 1/2(A₂+A₃) B₃ = 1/2(A₃+A₄) B₄ = 1/2(A₄+A₅) B₅ = 1/2(A₅+A₆) B₆ = 1/2(A₆+A₁) И координаты P и Q, выраженные через вершины шестиугольника P = 1/3(1/2(A₁+A₂)+1/2(A₃+A₄)+1/2(A₅+A₆)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆) Q = 1/3(1/2(A₂+A₃)+1/2(A₄+A₅)+1/2(A₆+A₁)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆) Готово :) P = Q
Пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c
и пусть три остальных ребра равны x, y, z,
Я обозначу (неизвестный) периметр всех граней P.
Тогда
a + b + c = P
x + y + a = P
x + z + b = P
y + z + c = P
Если сложить последние три равенства, то получится
2(x + y + z) + (a + b + c) = 3P
или
x + y + z = P :);
откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны.
То есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. Все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники.
Ну, теперь, если очень напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра.
6х4 = 24