Прямая l, проходящая через середину стороны АС треугольника АВС, пересекает стороны ВА и ВС угла АВС в точках D и E соответственно. Докажите, что если BD = BE, то AD = CE.
Пусть основания ВС и AD. Обозначим точку пересечения диагоналей - точку О. Проведем высоту через точку пересечения диагоналей. Высота делит основания равнобедренной трапеции пополам. Пусть отрезок высоты в треугольнике ВОС равен х, а отрезок высоты в треугольнике AOD равен (h-x). BC/2=x·tg((180°-α)/2) AD/2=(h-x)· tg((180°-α)/2)
. Так как АВ||СD, то угол ABD равен углу BDC, Треугольники ABD и BDC равнобедренные, так как их боковые стороны AB, BD и BC - радиусы окружности и равны 5. Диагональ АС может быть найдена из треугольник ABC (он тоже равнобедренный, АС - его основание), Надем АС из свойства синуса угла В при вершине данного треугольника. Угол B=β+γ, из тругольника BDC γ=180−2β. Тогда угол B=β+180−2β=180−β. Из равнобедренного треугольника ABC имеем AC=2∗AB∗sin(180−β2)=10∗sin(90−β/2)=10∗cos(β/2). cos(β/2) найдем из равнобедренного треугольника ABD: cos(β/2)=h/AB, где h - высота данного треугольника (обозначена синей линией на рисунке). h=52−32−−−−−−√=4, тогда cos(β/2)=4.5, следовательно, AC=10∗45=8. ответ 8.
Через точку A проведем параллельную BC, прямая DE пересекает ее в точке F.
∠FAC=∠ECA (накрест лежащие при AF||BС)
∠AMF=∠CME (вертикальные)
△AMF=△CME (по стороне и прилежащим углам)
=> AF=CE
△BDE~△ADF (по накрест лежащим при AF||BС)
△BDE - р/б (BD=BE) => △ADF -р/б, AF=AD
=> AD=AF=CE
Или по т Менелая (BD/BE=1, AM/MC=1)
BD/DA *AM/MC *CE/EB =1 => BD/EB *CE/DA =1 => CE/DA =1