163, a) Haйдите неизвестные катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если: 1) второй катет равен 3 см, а тангенс противолежащего ему угла равен 0,75; 2) второй катет равен 10 см, а тангенс прилежащего к нему угла равен 2,4. 6) В прямоугольном ДАВD B-90°, высота ВС- 6 см, АС- 8 см. Найди- те CD. в) Площадь прямоугольника равна 420 см", а разность его сторон рав- на 23 см. Найдите тангенсы углов, образованных диагональю прямоу- гольника с его сторонами. Онеро Верхмий Кольсайг) На берегу горного озера Верхнее в казахстанском националь- ном природном парке «Кольсайские озера» находится пункт Х. На какой высоте XH над уровнем моря он находится, если расстояние от пункта X до пункта А, расположенного на уровне моря у под- ножия горы, равно 3 км, a 2HAX- 65°? (ответ найдите с точно- 0.1 км.)
1. Достраиваем исходный прямоугольный треугольник до прямоугольника. 2. Проводим вторую диагональ получившегося прямоугольника. 3. Получилось четыре одинаковых прямоугольных треугольника. 4. Разбиваем прямоугольник на четыре равных прямоугольника проводя параллельные прямые через точку пересечения диагоналей. 5. Получившиеся прямоугольники имеют наибольшую площадь так как в сумме дают полную площадь прямоугольника. 6. Площадь прямоугольника 8*5=40 см². 7. Площадь вписанного прямоугольника 40/4=10 см².
См. рисунок в приложении. Обозначим стороны прямоугольника MK=CN=х и MC=KN=у Тогда S(прямоугольника)=x·y Из подобия прямоугольных треугольников АВС и AKM AM:AC=MK:CB 5x=8(5-y) 5x=40-8y x=(40-8y)/5
S=(40-8y)·y/5 S(y)=(40y-8y²)/5 Исследуем эту функцию на экстремум. Находим производную. S`(y)=(40-16y)/5 Приравниваем ее к нулю 40-16у=0 у=2,5- точка максимума, так как производная при переходе через эту точку меняет знак с + на - слева от точки 2,5: S`(1)=34/5 >0 справа от точки 2,5: S`(4)=-24/5<0
x=(40-8y)/5=(40-8·2,5)/5=4 ответ. S=4·2,5=10 кв см - наибольшая площадь
2. Проводим вторую диагональ получившегося прямоугольника.
3. Получилось четыре одинаковых прямоугольных треугольника.
4. Разбиваем прямоугольник на четыре равных прямоугольника проводя параллельные прямые через точку пересечения диагоналей.
5. Получившиеся прямоугольники имеют наибольшую площадь так как в сумме дают полную площадь прямоугольника.
6. Площадь прямоугольника 8*5=40 см².
7. Площадь вписанного прямоугольника 40/4=10 см².