В тетраэдре DABC точка M — серединная точка ребра DB. Известно, что в этом тетраэдре AD=AB;CD=CB. Tetraedr_perp_074.png Докажи, что прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна плоскости (ACM).
1. Определи вид треугольников.
ΔADB — ; ΔDCB — .
2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников? ответ: градусов.
3. Согласно признаку, если прямая к
прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.
Добрый день! Рассмотрим пошаговое решение этой задачи:
1. Определим вид треугольников:
- Треугольник ADB:
- AD=AB, что значит, что стороны AD и AB равны друг другу. Следовательно, треугольник ADB - равнобедренный.
- Треугольник DCB:
- CD=CB, что значит, что стороны CD и CB равны друг другу. Следовательно, треугольник DCB - также равнобедренный.
2. Угол между медианой и основанием треугольников:
- Медиана треугольника ADB - это отрезок DM, где M - серединная точка ребра DB.
- Медиана треугольника DCB - это отрезок DM, где M - серединная точка ребра DB.
Так как M является серединной точкой ребра DB в обоих треугольниках, то отрезок DM является общим для обоих треугольников.
Следовательно, угол между медианой и основанием треугольников ADB и DCB равен 180 градусов.
3. Докажем, что прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна плоскости (ACM):
- Исходя из условия задачи, мы знаем, что AD=AB и CD=CB, что означает, что треугольник ADB и треугольник DCB - равнобедренные.
- В равнобедренных треугольниках медиана (отрезок DM) совпадает с высотой (перпендикуляр из вершины треугольника к основанию).
- Так как отрезок DM является высотой для обоих треугольников, то он перпендикулярен основанию треугольников (прямой, на которой находится ребро DB).
- Плоскость ACM проходит через точки A, C и M, где M - серединная точка ребра DB. Так как прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна отрезку DM, который является высотой треугольников, то она также перпендикулярна плоскости ACM.
Таким образом, мы доказали, что прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна плоскости (ACM).
1. Определим вид треугольников:
- Треугольник ADB:
- AD=AB, что значит, что стороны AD и AB равны друг другу. Следовательно, треугольник ADB - равнобедренный.
- Треугольник DCB:
- CD=CB, что значит, что стороны CD и CB равны друг другу. Следовательно, треугольник DCB - также равнобедренный.
2. Угол между медианой и основанием треугольников:
- Медиана треугольника ADB - это отрезок DM, где M - серединная точка ребра DB.
- Медиана треугольника DCB - это отрезок DM, где M - серединная точка ребра DB.
Так как M является серединной точкой ребра DB в обоих треугольниках, то отрезок DM является общим для обоих треугольников.
Следовательно, угол между медианой и основанием треугольников ADB и DCB равен 180 градусов.
3. Докажем, что прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна плоскости (ACM):
- Исходя из условия задачи, мы знаем, что AD=AB и CD=CB, что означает, что треугольник ADB и треугольник DCB - равнобедренные.
- В равнобедренных треугольниках медиана (отрезок DM) совпадает с высотой (перпендикуляр из вершины треугольника к основанию).
- Так как отрезок DM является высотой для обоих треугольников, то он перпендикулярен основанию треугольников (прямой, на которой находится ребро DB).
- Плоскость ACM проходит через точки A, C и M, где M - серединная точка ребра DB. Так как прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна отрезку DM, который является высотой треугольников, то она также перпендикулярна плоскости ACM.
Таким образом, мы доказали, что прямая, на которой находится ребро DB, перпендикулярна плоскости (ACM).