) Параллельно оси цилиндра проведена плоскость пересекает основание цилиндра по хорде длиной а. Эта хорда стягивает дугу а (a< 180°) и образует угол beta диагональю сечения цилиндра плоскостью.
Укажите, какие из приведенных четырех утверждений верны.
1) Сечением цилиндра является прямоугольник, одна из сторон которого равен a tg В.
2) Если из центра основания провести перпендикуляр до данной хорды, один из углов образованного α ТО прямоугольного треугольника будет равна a/2
3) Если из центра основания провести перпендикуляр к данной хорде, то длина этого перпендикуляра есть расстоянием от оси цилиндра до плоскости сечения.
4) Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения α равно a сtg a/2
В трапеции ∠ВАС = ∠BCA ⇒ и ∠ADE = ∠CED.
ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED).
2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE.
∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам.
3) Т.к. ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC
EF/10 = 6/13 ⇒ EF = 60/13
4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону.
Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр
13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8)
13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60
h =120/13
5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований.
Sade/Sdcf = DE/DF
DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма,
DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13
Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13