Question

В равнобедренном треугольнике ABC на боковых сторонах AB и BC взяты соответственно точки M и N так, что BN=BM. Отрезки AN и CM пересекаются в точке E. Докажите, что EB биссектриса угла MEN. Если можно то и сделайте чертёж .

Answer 1

Для начала давайте проведем чертеж равнобедренного треугольника ABC и отметим точки M и N на его сторонах AB и BC соответственно.

A
/ \
/ \
/ \
B-------C
M N

Согласно условию задачи, BN = BM. Обратите внимание, что это следствие равнобедренности треугольника, так как углы ABM и BNM также равны (из свойств равнобедренных треугольников).

Теперь проведем отрезки AN и CM через точки A и C соответственно, и обозначим точку их пересечения как E.

A
/ \
/ - \
/ -- \
B-------C
M N
\ /
\/
E

Нам нужно доказать, что EB является биссектрисой угла MEN. Для этого нам потребуется доказать две вещи: одну про равенство углов, а другую про равенство отношений отрезков.

1. Доказательство равенства углов:

Рассмотрим треугольники ΔMEB и ΔNEB.
У нас уже есть, что углы BMN и BNМ равны, так как треугольник ABC равнобедренный.
Докажем, что углы MEN и NEM равны:

Угол MEN равен углу BMC + углу NAC (по свойству внутренних углов треугольника).
Угол NEM равен углу NAC + углу BNM (по свойству внутренних углов треугольника).
Так как углы BMN и BNМ равны, они могут быть обозначены как α.
Тогда MEN = BMC + α, а NEM = NAC + α.
Но у нас уже есть, что BMC = NAC (так как углы ABM и BNM равны), поэтому MEN = NEM.
Таким образом, углы MEN и NEM равны.

2. Доказательство равенства отношений отрезков:

Мы должны доказать, что отношение длин отрезков EB и EM равно отношению длин отрезков EB и EN.

Рассмотрим треугольники ΔMEN и ΔBEM.
У нас уже есть, что углы MEN и NEM равны.
Так как равнобедренный треугольник ABC, у нас есть, что EM = EN и углы EMB и ENB равны.
По свойству соответствующих углов, мы также имеем, что углы MEN и BEM равны (вертикальные углы).
Таким образом, треугольники ΔMEN и ΔBEM подобны по двум углам.

Теперь, применяя свойство подобных треугольников и известные нам отношения длин:

EM / EN = BM / BE (по свойству подобных треугольников)
EM = EN (так как EM = EN, по условию задачи)
BM = BN (так как BN = BM, по условию задачи)

Тогда, мы получаем:

EM / EN = BN / BE (подставляем равенства отрезков BM и BN)
EM / EM = BN / BE (так как EM = EN)

BE = BN

Таким образом, мы доказали, что отрезок EB является биссектрисой угла MEN.

Надеюсь, это решение понятно и подробно для вас. Для лучшего понимания задачи и доказательства, рекомендуется иметь на руках лист бумаги и ручку для проведения чертежей и добавления дополнительной информации.