602. 88м.кв
Объяснение:
Нарисуем рисунок конуса света от фонаря. Мы увидим, что в основании - круг радиуса r. Найдем его и посчитаем площадь круга как пи r квадрат.
Теперь проведем перпендикулярную прямую от источника света до земли и получим высоту конуса. Сечение конуса света - равнобедренный треугольник, поэтому высота его еще и медиана и биссектриса, значит угол в 120 градусов она делит пополам.
В полученном нами прямоугольном треугольнике видим угол при вершине 60 градусов, следовательно угол при основании - 30.
Теперь по свойству прямоугольного треугольника против угла в 30 градусов лежит сторона равная половине гипотенузы. Поэтому гипотенуза равна 2*8=16 м.
По теореме Пифагора r квадрат = 16 в квадрате - 8 в квадрате.
Тогда площадь пятна света равна пи * (256-64)=3.14*192=602.88
Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.
Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле
где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.
Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.
Задача 1.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.
Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
BM=4 см, AM=6 см.
Найти:
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK=AM=6 см,
BF=BM=4 см,
CK=CF=x см.
2) AB=AM+BM=6+4=10 см,
AC=AK+CK=(6+x) см,
BC=BF+CF=(4+x) см.
3) По теореме Пифагора:
По теореме Виета,
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.
4)
ответ: 24 см, 24 см², 2 см.
Задача 2.
Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Дано:∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
AB=26 см, r=4 см.
Найти:
1) Проведем отрезки OK и OF.
(как радиусы, проведенные в точки касания).
Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).
А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.
2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,
AM=AK=x см,
BF=BM=(26-x) см,
CF=CK=r=4 см.
3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.
По теореме Пифагора,
Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.
Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.
ответ: 120 см².