Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол Вравен 30° Тогда другой его острый угол будет равен 60°.
Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.
Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ .
Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60° => этот треугольник - равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.
ЕО=4 см, ∠ЕКО=45°, ОК=r - радиус вписанной окружности.
1. В прямоугольном тр-ке ЕОК острый угол равен 45°, значит он равнобедренный. ОК=ЕО=4 см.
В правильном треугольнике r=a√3/6 ⇒ a=6r/√3=2r√3.
АВ=а=2·4√3=8√3 - сторона основания.
2. Сечение, проходящее через середину высоты пирамиды параллельно плоскости основания, пересекает боковые рёбра посередине, значит сечение проходит по средним линиям боковых граней, которые равны половине сторон основания пирамиды.
Средняя линия равна m=АВ/2=4√3.
Площадь правильного тр-ка со стороной m:
S=m²√3/4=(4√3)²·√3/4=12√3 см² - площадь сечения.