Question

Найдите косинус углов треугольника с вершинами :

А(1;2) В (-3;4) С( 5; - 2)

Answer 1

АВ=√[(1+3)²+(2-4)²]=√20

ВС=√[(-3-5)²+(4+2)²]=√100=10

СА=√[(5-1)²+(-2-2)²]=√32=4√2

По теореме косинусов:

ВС²=АВ²+CA²-2АВ•CA•cosA

100=20+32-2•4√40•cosA

cosA=(3√10)/10

CA²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB

32=20+100-2•10•√20•cosB

cosB=(11√5)/25

AB²=CA²+BC²-2CA•BC•cosC

20=32+100-2•10•4√2•cosC

cosC=(7√2)/10

Answer 2

Чтобы найти косинус углов треугольника с заданными вершинами А(1;2), В(-3;4) и С(5;-2), мы сначала должны найти длины всех сторон треугольника, а затем использовать формулу косинусов.

Шаг 1: Найдем длину сторон треугольника. Для этого мы будем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

Для стороны АВ:
√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
= √[(-3 - 1)² + (4 - 2)²]
= √[(-4)² + (2)²]
= √[16 + 4]
= √20
= 2√5

Для стороны BC:
√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
= √[(5 - (-3))² + (-2 - 4)²]
= √[(8)² + (-6)²]
= √[64 + 36]
= √100
= 10

Для стороны AC:
√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
= √[(5 - 1)² + (-2 - 2)²]
= √[(4)² + (-4)²]
= √[16 + 16]
= √32
= 4√2

Шаг 2: Затем мы можем использовать формулу косинусов, чтобы найти косинус каждого из углов.

Косинус угла А:
cosA = (В² + С² - А²) / (2 * В * С)
= (10² + 4√2² - 2√5²) / (2 * 10 * 4√2)
= (100 + 16*2 - 20) / (80√2)
= (100 + 32 - 20) / (80√2)
= 112 / (80√2)
= 14 / (10√2)
= 7 / (5√2)
= (7√2) / (5 * 2)
= (7√2) / 10

Косинус угла В:
cosB = (А² + С² - В²) / (2 * А * С)
= (2√5² + 4√2² - 10²) / (2 * 2√5 * 4√2)
= (20 + 16*2 - 100) / (8√5 * 8√2)
= (20 + 32 - 100) / (64√10)
= -48 / (64√10)
= -6 / (8√10)
= -3 / (4√10)
= (-3√10) / (4 * 10)
= (-3√10) / 40

Косинус угла С:
cosC = (А² + В² - С²) / (2 * А * В)
= (2√5² + 10² - 4√2²) / (2 * 2√5 * 10)
= (20 + 100 - 16*2) / (4√5 * 20)
= (20 + 100 - 32) / (80√5)
= 88 / (80√5)
= 11 / (10√5)
= (11√5) / (10 * 5)
= (11√5) / 50

Таким образом, косинус угла А равен (7√2) / 10, косинус угла В равен (-3√10) / 40, а косинус угла С равен (11√5) / 50.